第十一讲同余问题

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1、第十一讲同余问题当整数a不能被非零的整数b整除时，一定存在a÷b=m....n,m为a除以b的商，n为a除以b的余数（0＜n＜b）m、n为整数。由于被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数除法。36÷5=7....137÷5=7....238÷5=7....339÷5=7....440÷5=7....5也可以表示为40÷5=8....0通过观察上面的几个等式我们发现：当余数等于零或者余数等于除数时，表示整除。所以在带余数的除法中一定存在：①余数必须大于0小于除数；②被除数=商×除数+余数；③余数最大为：除数-

2、1；④余数最小为1。例题一：在带余数的除法中a4=5....b,被除数a最大为多少？a最小为多少？分析：当余数比除数小1时，被除数最大。即b=4-1=3时，a最大a=5×4+3=23,当余数等于１时，被除数最小。即b=1时，a最小。a=4×5+1=21.练习一1、在带余数的除法中a20=5....n，被除数a最大为多少？a最小为多少？2、：在带余数的除法中ab=5....9，b最小为多少？此时a为多少？考察带余数除法的题型中，数论推理题通常是考察的重点，而要解决这类题，就需要我们认清带余数除法的本质，以及如何把

3、带余数的除法等式进行变化来方便解题。观察下面的几个等式：36÷5=7....1（36-1）÷5=737÷5=7....2（37-2）÷5=738÷5=7....3（38-3）÷5=739÷5=7....4（39-4）÷5=7通过观察可以总结为：除数和商都是（被除数-余数）的约数；（被除数-余数）是除数和商的倍数。根据上面的总结，在带余数的除法中，如果余数相同，则可以通过求几个数的公约数或公倍数来解题，当余数不相同时，也可以通过某些方法把余数转化相同。例题二：如果我们按照每一行10人排队，9人排队，8人排队，人数

4、都刚刚排完。那么最少有多少人？分析：按照不同人数排列，可是排列的队形的人数都刚刚好，说明总人数应该是各种排列的人数的公倍数。解得：【10、9、8】最小公倍数为：360。[余数相同]练习二1、如果我们按照每一行10人排队剩1人，9人排队剩1人，8人排队剩1人。那么最少有多少人？2、六一儿童节老师买来一袋糖发给同学，如果每人7颗少3颗，每人9颗少3颗，每人12颗少3颗，那么老师至少买来多少糖？3、如果我们按照每一行10人排队剩1人，9人排队剩1人，8人排队剩1人。人数在700—800之间，那么有多少人？小结：（1）

5、被除数和余数相同的几个除法算式中，被除数=几个除数或商的公倍数+余数。（2）除数和余数都相同的几个除法算式中，除数=几个被除数分别减去余数再求公约数。（3）余同加余，最小公倍数做周期。【余数不相同】在带余数的除法中，通常会通过变型把几个等式的余数变成相同，方便解题。余数通常可以变化为：余数+除数的倍数如36÷5=7....1可以表示为：36÷5=6....5×1+136÷5=5....5×2+136÷5=4....5×3+1如何把几个等式的余数转化为相同：39÷5=7....4可以变化为：39÷5=（7-1）.

6、...（4+1×5）余数转化为939÷6=6....3可以变化为：39÷6=（6-1）....（3+1×6）余数转化为9练习：把下面等式的余数转化为相同65÷7=9....237÷3=12....537÷6=6....365÷8=8....3通过前面几讲的学习，我们已经知道当在带余数除法的数论推理题中，如果余数相同可以直接根据求公约数或者公倍数的方法来求。但是在一些考试题中，余数都是不相等的，在余数不相等的题中，我们往往是通过转换，把余数转化为相同。即解题步骤可以归纳为：解题步骤：余数变相同—去掉余数—变整除—

7、求公倍数（或公约数）—加余数通常带余数的除法题型按照问题求的什么可以分为两类：求被除数的题型、求除数的题型。一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，这样的数总可以表示为：几个除数的最小公倍数×N+余数（把最小公倍数作为周期，Ｎ为整数）例题三：一个三位数除以5余4，除以6余3，除以7余2，这个数最小是多少？分析：设这个数为m，则可以把题意用式子可以表示为：m÷5=....4M÷6=....3M÷7=....2可以把这个式子都转化为：m÷5=....（4+5）M÷6=....（3+6）M÷7=....（2+7）如果

8、把M减去9，就刚好转化为余数等于0，即：刚好能被5、6、7整除。所以这个数就应该等于5,6,7的公倍数加9。5、6、7的最小公倍数为5×6×7=210这个数可以表示为：210N+9，题中要求这个数为三位数且最小，所以当N=1时成立。这个数为：210×1+9=219。观察变型3可以发现一个非常重要的特点：几个除数与它们余数的和相等（都是9）,我们把这种情况称作“和同”即除数与余数的和相等