第一讲整数的同余

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1、初等数论（一）--同余重要知识点：（1）反身性：（2）对称性：若则（3）传递性：如果那么以上三个性质说明“同余是一个等价关系，中元素可以按照模分成个类，粗略地讲，用一类中的元素可以认为是相同的”（4）如果那么（5）如果那么（6）如果，不一定有（整数之间的乘法消去律不一定成立），（7）若则。因此，时，才会有。（8）设，证明方程在中有唯一解。例1.设，确定除以49的余数例2.计算被7除的余数。例3.（清华自主招生题目）.计算正整数区间中不能被整除的数之和。例4.设有整数解，证明：。例5.设为奇质数，证明：。例6.设是正整数的无限子集，是给定的整数。已知

2、，对于任何一个不整除的质数，集合中均有无限多个元素不被整除。证明：对于任何整数集合中均存在有限多个元素，它们的和满足例7.设有自然数满足求。例4.设是给定的正整数，证明：仅有有限个正整数使得为整数。例8.设是两个互质的正整数，且均不为1.证明：若为正偶数，则不能整除。例9.设，，且，证明：是一个完全平方数。例10.数与的最后三位数字相同，试求出正整数使得最小（）。例11.当用10-进制表示时，各位数字和为，又设为的各位数字之和（和都取10-进制）。求的各位数字之和。例12.设均是大于1的自然数。在进制中在进制中其中。证明：当且仅当时，有。例13.证

3、明：每一个自然数都不可能为质数。例14．试求出所有的整数其中且使得为的约数。例15.给定100个整数，已知在这100个整数中任取8个都可以在这100个整数中找出9个·数，使得这8个数的算数平均值等于所找出的9个数的算数平均值。证明：这100个数彼此相等。例16.假设是一组整数，满足性质如果取走集合中的任何一个，可以将剩下的数分成两个和相等的元集合。证明：所有这些整数相等，即：。例17.100个盒子，每个盒子中有一些球（球数不一定相等）。设是小于100的正整数，选个盒子，并且在这些盒子中各放一个球，称为一次操作。（1）证明：若，可以施行有限次操作，使

4、得所有盒子里面的球数彼此相等；（2）若，请举出一种情况，无论进行多少次操作，都不能使盒子中的球数都相等。例18.定义数列如下：。求与此数列的每一项都互质的所有正整数。例19.设是质数，证明：例20.设均为整数，为整数，满足方程组证明：对于，必有。例21.若是模的一个简化剩余系（缩系），则例22.有30（）对夫妻围着圆桌而坐。证明：至少有两名妻子到各自丈夫的距离相等。例23.设。证明：数列不可能都是质数。例24.证明表达式按照相同的被17整除。与调和级数有关的数论问题。1979年在英国举办的第21届IMO上的第一道题目是联邦的德国提供的：例25.设这

5、里均为互质的正整数。证明：。例26.设为奇质数且，证明：。例27.设质数。如果，必有。例28.给定，其中。求证：例13.给定分数，问：成立吗？下面介绍一些与二项式系数有关的数论问题1990年在我国举办的第31届IMO上，意大利提供了一道题目;例29.求证：对于任何自然数二项式系数中，奇数的个数为的幂。例30.二项式系数中每一个都是奇数的充分必要条件是上面这两个题目非常有用，这里举出一个。应用1-将个棋子放在圆周上进行调整，如果相邻两个棋子同色，则在两子之间放一个黑色棋子，如果两子是异色，则放一个白色棋子，都放完后将原有的棋子拿走，称为一次调整。证明

6、：经过有限次调整后，圆周上都是黑子（第一届全俄数学奥林匹克）例31.求小数点前面和后面一位数字。下面的讨论将二进制问题推进到一般的进制。例32.证明当且仅当时，每一个组合数均不可以被质数整除。解答：分成两步完成。注意：值得一提的是，有一些数学竞赛题目竟然是以这个结论为原型提出的。下面就是一个，选自1989年底30届IMO由哥伦比亚提供的预选题。应用.设定义为中因数的个数（即满足的最大整数）。求证：有无穷多个满足（***）整除问题例1.证明：如果整数满足，那么。例2.证明：对于任何正整数有。例3.证明：对于任意自然数，和数不被5整除。例4.设为任意自

7、然数，证明：为整数（约定：）。例5.设均为自然数，且证明：如果，则。例6.证明：对于每一个自然数，存在无穷多个正整数满足例7.证明：对于任何正整数，都有例8.证明：如果为整数，，那么例9.证明：对于任何一个正整数都存在一个自然数，使得的各位数字之和等于，而且。例10.求出所有的有序正整数对使得是整数。例11.设有个整数，其中任意两个数的最小公倍数。则。