6.4同余问题

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1、04同余问题教学目标：1 、让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质; 2、 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题.3、在利用同余性质解题的过程中体会数学的灵活性教学重点:同余的概念和性质教学难点:同余的性质和其应用教学过程：一、情景体验师：老师今天给大家带来一堆苹果，3个3个数，4个4个数，5个5个数，都会剩余1个，大家猜猜看这堆苹果最少有多少个？生：如果苹果个数少一个就正好是3.4.5的倍数，所以我们只要求出3.4.5的最小公倍数再加1就可以了。师：如果我们反过来我要把苹果分给一部分人，我拿出20个

2、或30个平均分给他们都剩下相同的个数苹果，你能猜出老师要分给多少个人吗？这个就是我们今天要学习的同余定理。师板书课题二、思维探索（建立知识模型）展示例题：例1：有一个大余1的整数，它除1000、2001、967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？师： 这个题没有告诉我们除数、商，也没告诉我们余数，未知量太多，我们可以把这些未知量用字母代替来分析一下。小组讨论尝试，教师巡视指导，提醒学生余数相同。代表回答。（预设）生：设这个整数为a，且1000÷a=m……k，2001÷a=n……k，967÷a=p……k，师：

3、我们这种表示方法不能看出几个数的关系，能有其他表示方法吗？引导生写出被除数=除数×商+余数的形式，师板书：1000=am+k2001=an+k967=ap+k师：未知数太多，我们能不能试着消除一些。生1：算式两两相减，k就可以消去。板书：2001-1000=an+k-(am+k)=a(n-m)=10012001-967=an+k-(ap+k)=a(n-p)=10341000-967=am+k-(ap+k)=a(m-p)=33师：观察这几个算式，你能发现什么？生2：它们的差都是a的倍数。师：所以我们得到这样一个结论：（

4、板书）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。三个数两两之差能够被除数整除，所以我们找到三个差的公因数即为所求数。师：大家算算三个数公因数是多少？生独立完成，师小结。小结：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )展示例题：例2：甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行。现在要把这四个学校的学生进行分组，每组学生相等，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览。已知甲乙丙三个学校分组后，所剩下的人数相

5、同，问丁校分组后还剩下几个人?师：题中“剩下的人数相等”是什么意思？生：分别用总人数除以每组人数的余数相等，也就是69、85、93、97分别除以同一个数余数相同。师：利用我们上题的结论能求出来吗？生：根据同余定理知道：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公因数．93-85=8,85-69=16,93-69=24，求出8,16,24的最大公因数是8，所以这每组8人。师：现在我们能求出剩下的人吗？生独立完成。展示例题：例3：4321×3275+2983-19×876被17除的余数。师：求这个

6、算式被17除的余数要把这个算式的结果算出来吗？师举例说明：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.所以：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。所以：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。注意：当结果比除数大时，所求的余数等于结果再除以c的余数师：我们要求这个算式被17除的余数该怎么办呢？生：我们

7、只需要把每个数除以17的余数算出来，根据算式中的符号计算。师：大家自己计算一下。生计算，师评价小结总结：（1）余数的可加性：和的余数等于余数的和；（2）余数的可减性：差的余数等于余数的差；（3）余数的可乘性：积的余数等于余数的积。二、思维拓展（知识模型拓展）展示例题：例4：将一批货物共375千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克?师：我们不可能把375算出来去除以10啊，那该怎么办呢？可以用我们上面的定理解决吗？生：3的几次方表示多少个3相乘，可以用余数的可乘性。师：那我们需要把75个3相乘除以10分别把余数再

8、相乘吗？生：每个3除以10余数都是3，结果还是75个3相乘。师：我们可以试试找找规律。教师给出表格，生试着填写后找规律生完成表格师：你能发现什么？生：余数是按3.9.7.1为一组重复出现的，是周期现象。师：大家能根据周期问题的方法解决这个问题吗？展示例题：例5：求自然数2100+3101+4102的个位数字。师：怎么求这个算式的个位数呢？生：我