2013高考总复习江苏专用(理科)：第七篇 不等式《第42讲 基本不等式及其应用(2

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1、A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系为________．解析　p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4.当a－2＝，即a＝3时取等号，q＝x2－2≤4，∴p≥q.答案　p≥q2．要挖一个面积为432m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m,4m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________，宽为________．解析　设鱼池的长、宽分别为x，，所以S＝(x＋6)＝432＋48＋＋8x≥480＋288＝768，仅当8x＝，即x＝18，＝24时等号成立．答案　24m　1

2、8m3．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．解析　由2＋2≥x2＋＋y2＋＋2≥2＋2＋2＝4.当且仅当x＝y＝时取等号．答案　44．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是________．解析　f(x)＞0，即32x－(k＋1)·3x＋2＞0，∴k＋1＜＝3x＋.∵x∈R，∴3x＞0，∴＝3x＋≥2，当且仅当3x＝时取等号．从而k＜－1＋2.答案　(－∞，－1＋2)5．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为________．解析　由a7＝a6＋2a5，得a5q2＝a5

3、q＋2a5，又a5≠0，q＞0，所以q2＝q＋2，解为q＝2.于是由＝4a1，得m＋n＝6，所以＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝，当且仅当n＝2m，即m＝2，n＝4时等号成立，故min＝.答案　6．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋的最小值为________，取最小值时x的值为________．解析　由题意得f(x)＝＋≥＝25，当且仅当＝，得x＝∈，故f(x)的最小值为25，此时x＝.答案　25　7．若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a＞1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．解析　由ab

4、－4a－b＋1＝0可得(a－1)(b－4)＝3.则a－1＝，由a－1＞0可得b＞4，从而a＝＋1，∴(a＋1)(b＋2)＝2(b－4)＋＋15≥15＋2＝27.当且仅当2(b－4)＝时，即b＝7时，等号成立．答案　27二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知二次函数f(x)满足f(－1)＝0，且x≤f(x)≤(x2＋1)对一切实数x恒成立．(1)求f(1)；(2)求f(x)的解析表达式；(3)求证＞.解　(1)取x＝1，由1≤f(1)≤(1＋1)＝1，得f(1)＝1.(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(－1)＝0，f(1)＝1，∴∴a＋c＝b＝.∵f(x)≥x对x∈R恒成立

5、，∴ax2＋(b－1)x＋c≥0对x∈R恒成立．∴∴∵a＋c≥2≥2＝，当且仅当a＝c＝时，等号成立．∴f(x)＝x2＋x＋，即f(x)＝(x＋1)2.(3)证明　＝＞4＝4＝4＝＝.9．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB、CD的长，可使建造这个支架的成本最低？解　设BC＝am(a≥1.4)，CD＝bm.连接BD，则在△CDB中，2＝b2＋a2－2abcos60°，∴b＝，∴b＋2a＝＋2a，设t＝a－1，t≥－1＝0.4，则b＋2a＝＋2(t＋1)＝3t＋＋

6、4≥7，当且仅当3t＝时等号成立，解得t＝0.5＞0.4，∴当t＝0.5时，a＝1.5，b＝4.即当AB＝3m，CD＝4m时，建造这个支架的成本最低．10．(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？解　(1)由AB＝，BD＝，AD

7、＝及AB＋BD＝AD得＋＝解得H＝＝＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.由AB＝AD－BD＝－，得tanβ＝，所以tan(α－β)＝＝≤，当且仅当d＝，即d＝＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m.B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：6