矩阵的qr分解及其应用研究

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1、北方民族大学学士学位论文论文题目:矩阵的QR分解及其应用研究院(部)名称:信息与计算科学学院学生姓名:罗立新专业:信息与计算科学学号:20080435指导教师姓名:论文提交时间:论文答辩时间:学位授予时间:北方民族大学教务处制II摘要矩阵是数学研究中一类重要的工具之一,有着非常广泛的应用,矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.本文从矩阵的分解、矩阵的分解、矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行了论述:给出了矩阵分解的几种方法.关键词:矩阵,对称正定矩阵,矩阵的三角分解；矩阵的满秩分解；矩阵的分解.IIAbstractThematrixisaimportanttoolincla

2、ssofmathematicalresearch,andithasaverywiderangeofapplications,matrixdecompositionplaysakeyroleinmatrixtheoryanddevelopmentofmoderncomputationalmathematics.ThisarticlebeginatthediscussfromthematrixofLUdecomposition、MatrixoftheQRDecomposition、Matrixdecompositionoffullrankandsoon.givenamatrixfactorizat

3、ionmethod.Keywords:Matrix;Symmetricpositivedefinitematrix,Triangulardecompositionofmatrix;matrixfullrankdecomposition;decompositionofmatrix.II目录摘要IAbstractII0引言11矩阵的三角()分解11.1矩阵的三角分解基本概念与定理11.2常用的三角分解公式71.2.1杜利特分解71.2.2克劳特分解71.2.3乔累斯基分解82矩阵的满秩分解152.1矩阵的满秩分解基本概念与定理153矩阵的QR分解183.1矩阵的QR分解基本概念与定理183.2矩阵

4、QR分解的常用方法203.2.1利用Householder矩阵变换203.2.2利用QR分解公式203.2.3利用列初等变换法21参考文献240引言矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等.另一方面,构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供了理论依据.本文从矩阵的分解；矩阵的分解；矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行论述:探讨矩阵分解的方法.通过matlaB编程实现计算，对比各种算法的优劣，应用QR分解解决一些实际问题，对复矩阵进行QR

5、分解，探讨广义QR分解，利用广义QR分解纠结带约束的最小二乘问题。知识储备矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR分解、满秩分解和奇异值分解。矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。1.矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU，则称A可作三角分解。矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵

6、可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0，即.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU的分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle分解和Crout分解，它们用待定系数法来解求A的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LUx=b，即有如下方程组：先由依次递推求得,,……，，再由方程依次递推求得，，……，.

7、第3页,共24页必须指出的是，当可逆矩阵A不满足时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。1.满秩分解满秩分解也称最大秩分解，满秩分解可以处理长方阵。满秩分解是指，把秩为r的mxn矩阵A分解成A=FG，其中F是秩为r的mxr阶矩阵，G是秩为r的rxn阶矩阵。满秩矩阵的解求可以通过初等变换法，但是必须经过多次求逆