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1、第25卷第1期吕梁高等专科学校学报2009年3月Vol.25No.1JournalofLvliangHigherCollegeMar.20093矩阵QR分解的三种方法李建东(吕梁高等专科学校数学系,山西离石033000)摘要:矩阵的QR分解可利用Schmidt正交化、矩阵的初等变换以及Givens变换方法.关键词:QR分解;初等变换;Givens变换中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1008-7834(2009)01-0016-04若n阶实非奇异矩阵A可以分解为正交矩阵Q与实非奇异上三角矩阵R的乘积,即A=QR,则称该分T解式为
2、矩阵A的QR分解;进而A是m×n列满秩矩阵,若A=QR,其中Q是m×n矩阵,QQ=E(称Q为列正交矩阵),R为非奇异上三角矩阵,也称为矩阵A的QR分解.1利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解Schmidt正交化方法是矩阵的QR分解最常用的方法.主要依据下面的两个结论:[1]结论1设A是n阶实非奇异矩阵,则存在正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R使A有QR分解;且除去相差一个对角元素的绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外,分解是唯一的.[2]结论2设A是m×n实矩阵,且其n个列线性无关,则A有分解A=QR,其中Q是m×n实矩阵,且T满足QQ=E,
3、R是n阶实非奇异上三角矩阵该分解除去相差一个对角元素的绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外是唯一的.步骤:1、写出矩阵的列向量;2、把列向量按照Schmidt正交化方法进行正交;3、得出矩阵的QR分解.122例1:用Schmidt正交化方法求矩阵A=212的QR分解.121TTTT解:令α1=(1,2,1),α2=(2,1,2),α3=(2,2,1),正交化得β1=α1=(1,2,1)TT1711β2=α2-β1=(1,-1,1)β3=α3-β2-β1=,0,-3622构造矩阵11176676326001166210301Q=-0R=1=036
4、3101330011120011-006322则有A=QR.3收稿日期:2008211203作者简介:李建东(19782),男,汉族,山西方山人,吕梁高等专科学校数学系助教.162利用初等变换求矩阵的QR分解矩阵的初等变换共有三种,其中把数域P上矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列),这种初等变换称为第3种行(列)初等变换(其中k是P中任意一个数).[3]TT结论3设A是一个m×n实矩阵,若A是列满秩矩阵,则AA对称正定,因而AA有唯一的三角分解TT式AA=LDL,其中:L是单位下三角矩阵;D是对角元全为正数的对角矩阵.[3]m×n结论4若A
5、∈R是一个列满秩矩阵,则A总可经过一对第3种行和列的初等变换分解为A=QR的形式.其中Q是一个列正交矩阵,R是一个非奇异上三角矩阵.T步骤:1、首先求出正定对称矩阵AA;T2、对AA同时进行相应的第3种行和列初等变换,得到对角矩阵且主对角线上的元素全为正实数,又对矩阵施行行初等变换等价于用相应的初等矩阵左乘该矩阵,对矩阵施行列初等变换等价TT于用相应的初等矩阵右乘该矩阵,故存在下三角矩阵B和上三角矩阵B(显然可逆),使得BT(AA)B=diag(d1,d2,⋯,dn)(di>0,i=1,2,⋯,n);3、设C=diagd1,d2,⋯,dn)则-
6、1TT-1-1T-1C[B(AA)B]C=(ABC)(ABC)=E,其中E为单位矩阵;-1-14、令Q=ABC,Q是一个列正交矩阵,R=CB是一个非奇异上三角矩阵,得出分解式.112121例2:用初等变换求矩阵A=的QR分解.11323371012TT解:AA=101516对AA只用第3种初等变换得:1216237101271007007001015161015-8/705/7-8/705/70TAA1216230-8/717/70-8/717/7003/5CvvvvvE10010-12/71-10/7-12/71-10/7-4B0100100
7、10018/50010010010011-10/7-4700有B=018/5,C=05P350,001003P15110/712/71P700-1-1则B=01-8/5,C=07P350001005P15因此,可得:1P7-3P35-2P15710P712P7-11P74P351P15-1Q=ABC=,R=CB05P35-8P351P7-3P353P15003P152P71P35-1P153利用Givens(吉文斯)变换求矩阵的QR分解n一般地,在n维Euclid空间R中,令e1,e2,⋯,en是它的一个标准正交基,于是在平面[ei,ej]中的
8、Giv217ens变换定义如下:[4]22定义设实数c与s满足c+s=1,称1w1cs1Tij=w(i
