第一讲算符及其本征值与本征函数

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1、第一讲算符及其本征值、本征函数量子力学中的力学量这一章主要介绍量子力学如何处理力学量。主要特点是力学量与算符对应。它涉及到量子力学特有的一整套处理力学量的基本原理与数学方法。这一章构成了量子力学基本理论框架的主要部分。一、算符的引入在量子力学中，当微观粒子处于某一状态时，它的力学量（如坐标、动量、角动量、能量等）一般不具有确定的数值，而是有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定了。例如氢原子中的电子处于某一束缚态时，它的坐标和动量都没有确定值。但是这两个量具有某一量的确定值的几率却是可以确定的。对经典物理来说没有这些特点，

2、所以，为了表述这些特点，量子力学引入算符来表示力学量。算符是对波函数进行某种数学运算的符号。在推导薛定谔方程时，我们曾经得到过：以及定态薛定谔方程：从这两个等式我们可以发现一种等效关系：也就是等式左边的符号作用于波函数的结果等效于右边的能量作用于波函数的结果。对于定态的薛定谔方程，当势能不显含时间t，可以认为E=H=T+U，恰好是经典力学中的哈密顿量。在量子力学中出现的力学量，都有与该力学量运算效果上等效的算符。因此通过对比，我们可以归纳出下列的几个等效关系：对于其它力学量的算符都可以由以上算符导出因为任何经典力学量总是r和p的函数。当力学量A(r)只是r的函数，它的算符就是它本身，即

3、：当一个力学量A的经典表达式既是r的函数，又是动量p的函数，则它的算符只需要把它的动量换成动量算符即可。即：二、本征函数与本征值算符作用于函数f(r)上，得出另一个函数。若算符作用于某些特殊的函数U(r)得到的结果等于某一常量乘以同一函数U(r)，即：则常数A称为算符的本征值；U(r)称为属于这个本征值的本征函数。上式也被称为算符的本征方程。在量子力学中，一个力学量所可能取的数值，就是它的算符的全部本征值。本征函数所描写的状态就是这个算符的本征态。在自己的本征态中，这个力学量取确定值，即这个本征态所属的本征值。简并度不同的算符一般有不同的本征函数系和本征值谱，因为算符不同，本征方程的数

4、学形式不同，因而方程解的函数形式不同。当解的本征方程时，可能得出的某一本征值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且属于该本征值的本征函数也有f个。这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量的值都是一样的。即：补充：动量算符的本征函数我们前面给出了动量算符的本征方程，那么它们的本征函数是什么？其中C为归一化系数。由于本征值是连续分布的，本征函数模平方在整个空间积分不能归一化为一，而只能归一化为δ函数。统一说法，也说这C为归一化系数。归一化系数C求法。已归一化了的四个本征函数为：三、算符运算规则及线性厄米算符一、算符相等：对任意函数Ψ，若则

5、：二、算符和与差：三、算符乘：四、线性算符：五、泊松括号与算符对易：A：泊松括号：B：若成立，则是线性算符。补充说明算符相加满足交换律、结合律：算符相乘不满足交换律：算符相乘满足结合律：例：计算对易关系：所以：类似有：一般写成：的含义是：六、厄米共轭算符六、厄米算符：，即，其中ψ、φ是任意函数，则称为厄米算符。厄米算符反映某一类算符的特性。若若算符满足：其中ψ、φ是任意函数，则称是的厄米共轭算符，记为：在量子力学中表示力学量的算符必须是厄米算符因为力学量算符本征值的物理意义是该力学量在本征态中的取值，所以本征值必须是实数，而厄米算符可以保证这一点，其本征值肯定是实数。证明：设为厄米算符

6、，其本征值为λ，相应的本征函数为ψ，由厄米算符定义：补充——波函数的内积符号波函数的内积：性质：上式简单证明：所以：量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符例：证明是厄米算符。设：是粒子的两个任意波函数，按定义证明即：所以，的确是厄米算符。式中利用了：因为粒子应该在有限范围内运动，所以在处，波函数都为零。练习如是厄米算符，则：也是厄米算符。另外对于线性厄米算符有如下关系若为厄米算符，a和b为实数。则有但是，一般不是厄米算符。任何规定为以x的实函数相乘的算符显然也是厄米的，所以势V（x）也是厄米函数。这意味着哈密顿算符也是厄米的。厄米算符本征函数的正交性和完全性厄米算符的本征函数具

7、有正交性和完全性，这是厄米算符的两个重要性质，运用这两个性质可以使一些计算过程简化。1，正交性：在数学上，如果两个函数满足：就称这两个函数正交。先证明本征值无简并的情况下厄米算符的本征函数之间互相正交。设：厄米算符的本征函数为：本征值（无简并）为：根据：为厄米算符按定义：对于本征值有简并说明设：的某一本征值为f度简并，属于的本征函数有f个：这f个本征函数之间有可能并不正交。即：但是可以证明，这f个本征函数线性可以组合成f个独立的新函数：并且这些