★中考数学探究题[1]

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1、1．如图，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠C=90°。　(1)操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E．F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E．F的位置发生变化时，AE．EF．FB中最长线段是否始终是EF？　写出观察结果．(2)探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形（即能否有EF2=AE2+BF2）？如果能，试加以证明．2．如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，

2、由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．(1)求四边形ABCD四个内角的度数；(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；(3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．3．某房地产公司要在一块地(图中矩形ABCD)上规划建造一个小区公园(矩形GHCK)，为了使文物保护区ΔAEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB=200m,AD=160m,AE=60m,AF=40m．(1)求矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，公

3、园的面积．-20-(2)当G在EF上什么位置时，公园面积最大？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4．某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图1，在正三角形△ABC中，M、N分别是AC．AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60º，则BM＝CN；②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于O，若∠BON＝90º，则BM＝CN；然后运用类比的思想提出了如下命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD．DE上的点，

4、BM与CN相交于点O，若∠BON＝108º，则BM＝CN．任务要求：（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分）(2)请你继续完成下列探索：①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108º，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）ABCMNOD图2　BOCMNA图1②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108º，请问结论BM＝C

5、N是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．-20-图4　NMOEDCBA　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第4题图5．如图（l），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD＝∠APB=α．且∠BPC＝∠CPD＝β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．（l）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β．（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）.-20-（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一

6、点也是它的半等角点．6．如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△-20-EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面

7、积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC?（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，　求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142＝12996，1152＝13225，1162＝13456或4.42＝19.36，4.52＝20.25，4.62＝21.16）　　　　　　　　　　　　　　7．(1)填空：如图1，在正方形PQRS中，已知点M．N分别在边QR、RS上，且

8、QM=RN，连结PN、SM相交于点O，则∠POM=_____度.(2)如图2，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°-20-.以此为部分条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.图2图1O　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8．△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝c．若，如图l，根据勾股定理，则．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你