浅谈平面向量的数量积在填空题中的求解方法

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1、浅谈平面向量的数量积在填空题中的求解方法　　【摘要】平面向量的数量积在考题中往往有以填空的形式出现，本文以几道试题为例阐述三种常用解法：定义法，坐标法，特值法。灵活运用基础知识，选择适当解题方法，归纳总结让学生学会快速找到正解，有利于学生数学知识的系统掌握和综合运用。　　【关键词】平面向量；数量积；填空；解法　　平面向量的数量积在江苏高考说明中属于C级，为必考内容，其地位非常重要。考查平面向量的数量积时，考题不仅可能出现大题中，而且往往结合平面几何图形以填空的形式出现，填空题每题5分，一旦方法选择不当就会延误时间，甚

2、至求解错误。以几道考试题为例得到三种常用解法求出平面向量的数量积。　　如无锡市2012年秋学期高一数学期终考试期期终考试13题：　　例1：如右图，A，B是函数y=3sin（2x+θ）的图像与x轴的两相邻交点，C是图像上A，B间的最低点，则AB→?AC→_______。　　分析：本题主要考查三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象和向量的数量积的运用。（解法一）可以用向量数量积的定义解答：先求出AB→长度为半个周期π/2、夹角的余弦（π/4）/AC，然后利用定义求得答案是AB→?AC→=（π/2）×AC×（π/4）/AC

3、=π2/8。（解法二）用向量的平移先将AB→和AC→始点A平移至原点，新A（0，0）、新B（π/2，0）、新C（π/4，-3）然后运用坐标表示AB→=（π/2，0）和AC→=（π/4，-3），最后用平面向量数量积的坐标表示求出结果π2/8。　　解法一是由平面向量的数量积的定义完成解题的，对于所求数量积的（相关）向量夹角已知或易求或好表示的题目，运算快捷。　　一、定义法　　当所求向量的数量积中，相关向量的夹角已有或易得到、能表示，或能用已知相关向量来表示时可以运用向量数量积的定义，然后结合向量的加减法来求解。　　例2：

4、等边三角形△ABC的边长为2√3，平面内一点M满足CM→=（1/6）CB→+（2/3）CA→，则MA→?MB→__________。　　分析：逆用平面向量加法的定义将MA→和MB→用△ABC的三条边和CM→表示，最终用△ABC三条边对应向量来表示。即　　MA→?MB→=（MC→+CA→）?（MC→+CB→）　　=MC→2+MC→?CB→+MC→?CA→+CA→?CB→　　=（7/18）CB→?CA→-（2/9）CA→2-（5/36）CB→2　　=（7/18）×6-（2/9）×12-（5/36）×12=-2　　当然此题

5、也可以建立一个顶点（如C）为原点，一边（CB）所在直线为x轴的平面直角坐标系，运用平面向量基本定理和直线的方程知识求得点M，A，B的坐标，然后转化成用向量数量积的坐标表示求得结果。　　二、坐标法　　向量运算的坐标化是在解向量相关题目尤其向量数量积题目时常用的解题方法，遇到有特殊图形、特殊角或者有垂直关系的向量问题时就可以运用此法，转化为向量的坐标运算来解题。往往要和直线方程、三角函数、函数等知识结合解题。引例就是如此，又如　　例3：无锡市2013年春学期高二数学（文）中第13题：　　13.如图，菱形ABCD的边长为2

6、，A=60°，M、N为别为线段BC、CD上的点（异于端点），且满足MN∥BD，则AM→?AN→的范围为。　　分析：以点A为原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，可得B（2，0），D（1，√3），可设N（x，√3）由MN与直线BD平行可得M（（x+3）/2，（√3x-√3）/2），由向量数量积的坐标表示得到AM→?AN→=（1/2）[（x+3）2-12]，又因为x∈（1，√3），可得AM→?AN→的范围为（2，12）。　　三、特殊法　　在解填空题时常常可以采用特殊法快捷找出答案。首先找出满足条件的数或形的特殊数字

7、或图形，再运用相关知识求解。　　例4△ABC中AB=4，AC=2，M是△ABC内一点，且满足2MA→+MB→+MC→=0→，则AM→?BC→____________.　　分析：由平行四边形法则可知点M是BC边上的中线，又有AB=4，AC=2，可以利用特殊的熟悉的三角形：锐角B是30°，C的为90°的直角三角形来解题。当然如果有了这个特殊图形，立刻会想到建立C为原点，一条直角边（设CB）所在直线为x轴的平面直角坐标系，很快表示出A（0，2）、B（2√3，0）、M（√3/2，1），从而得到AM→、BC→，最后运用坐标运算

8、到所求值为-3。　　波利亚曾说过：“特殊化和类比是获得发现的伟大源泉”，特殊法不仅是填空题简便易行的常用方法，也是发现问题、探索思路的向导，尤其是通过挖掘问题中隐含的特殊条件和内在联系，诱发学生的直觉，进而培养他们深层次的直觉思维。　　当然例4也可以先运用定义法来解决因为MB→=MA→+AB→，MC→=MA→+AC→，又2MA→+MB→+MC→