平面向量问题的求解方法纵览-论文.pdf

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1、<数理化解题研~)2o14年第期(一巾)数学篇平面向量问题的求解方法纵览江西省宁都县宁师中学(3428o0)李继江●平面向量具有代数和几何双重身份，是数形结合的=A，转化为求正实数A和的值或÷^+；为了便于重要体现．平面向量与几何问题的综合应用通常涉及是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为沟通A，，D共线和P，，Q共线，选择基底A，A为了运算．本文结合相关典型题目，介绍求解方法，以飨读者．建构关于A，的方程，对A“算两次”从而列出方程．一解构造基底：口，：6，则：一詹：、巧构基底例1(2

2、o13年·高考天津理12)在平行四边形b-a，BD：=寻÷赢BC：=寻÷(一口)。AD：=A+蔚日：={_口+ABCD中，AD=1，／_BAD=60。，E为CD的中点．若AC·曰=1，贝4AD的长为——．．争，所以=丢=+．分析已知AD=1，／_BAD=60。，AB长待求，故选=A=A4，=弘=，00)，贝nA詹·AD=．．AQ(m∈R)，又．赢：(+．(一÷：

3、1一1于是+÷6=(1一m)A4+H．+}=l，得=下I，即lI=÷．又a,b不共线，所以÷=(1一m)A且寺=，消去m，得+1=1点评基底确定后，其他向量要根据图形和条件进，即÷+吾=4，行转化，用基底来表示，有目的地促使问题朝便于解决的方向转化．所以筹+=+=÷+吾二、直接“翻译”点评明确要求的目标，合理构造基底，挖掘共线条例2(2013年·高考湖北理6)已知点A(一1，1)，件，思考如何建构方程，是解决向量与平面几何交汇问题曰(1，2)，c(一2，一I)，O(3。4)，则向量A百在方向上的的基本

4、途径．应注意到，在本例中只能求出A和的关系投影为()．等式，而A和的值是无法求出的．这告诉我们，有些情况A．B．C．一2D．一巫下要着眼整体来处理．2四、巧构图形分析按照向量投影的概念和向量数量积的定义即例4已知向量a≠P，IPI=l对任意实数t，恒有可获解．．la—teI≥I口一l，贝4()．解析：(2，1)，蔚：(5，5)，设向量与的A．a上PB．a上(口一P)夹角为，则向量A百在C方向上的投影为IAlcos0=C．P上(口一)D．(口+)上(口一)A詹·CO15+5／_2、出．‘分析当口与P共线

5、时，显然不满而远足条件．故作：口，商：，它们不共点评“向量a在b方向上的投影”与“向量6在a方线，构造lI：l口一l，II：Ia一向上的投影”有区别，前者为I口Icos0而后者为I6II(tER可变，让点C在直线OB上运cos0(0为两向量问的夹角)，不要混淆，牢记概念，用活公动)，可直观获解．图2式．解作=a，0=，0C=te，则IAI=三、“算两次”Ia—Pl，IACI=Ia—teI．因为对于任意实数t恒有I口例3如图1，在ZXABC中，已知：2，：3M—D一teJ≥I4一l，所以恒有II≤JAC

6、J(t为实数)，则，过点肘作直线交A、必有AB上OC．即P上(口一)，选C．Ac于P、Q两点，则AB+2AC=点评本例利用数量积(向量等式平方法)可转化——为t一2ta·+2a·一1≥0对任意实数t恒成立。注意分析根据待求，设=A，图1到=1可获解．但是，解题深入时容易受阻(得到a·口=数学篇《数理化解题研究》2014年第6期Inl~l}1时)，也不及构图法直观、简捷．等式组．五、巧用平面几何知识解由II：I商I：．：2，：Ao--X+例5(2013年·重庆高考理10)在平，得Dp·=4A+，DP·0

7、=2A+，所以面上，AB上A，IOB。l=lOB2l=l，．(o-7+：6(A+)，．(b7一商)：2(a一)．A—P图2设与的夹角为0，由lI：Il：．=+若lI<，则二．．．．1一=i¨0百lcosO=2得cos0=÷，得0=10I的取值范围是()．二J又0是坐标原点，A，B为两定点，lI=IDI=2，(0，]二&c粤c．(譬]D．(譬]所以，不妨设A(，1)，B(0，2)，P(x，Y)，则Dp=(，y)，分析本题所给的条件几何意J0+DB=(√3，3)，o,4一OB=(√3，一1)．味很浓，有三

8、个圆一个矩形，画出图．．所以+3y=6(A+)，—Y=2(A—)．形细察可以得到10pI+JI=。又IAI+II≤1，A，∈R，lOB。l+lOBI，问题即可迎刃而，当A≥0，I1,≥0时，√3+3y≤6；解．也可用坐标法求解．解由题意得点日，B在以0图3当A≤0，≤0时，√3+3y≥一6；当A≥0，11,≤0时，√3—Y≤2；为圆心的单位圆上，点P在以0为圆心÷为半径的圆内．当A≤0，≥0时，√3—Y≥一2．又上，又=A—B,+A—B2，所以点A在以线