空间向量的数量积在向量中的应用.doc

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1、空间向量的数量积在向量中的应用空间向量的数量积与平面类似，学习中要善于利用这种相互联系来帮助，尽快掌握空间向量的运算，本文重点剖析数量积在空间几何中的应用。一、证明线线、线面、面面垂直例1、已知正方体中，点M、N分别是棱与对角线的中点，求证：证明：不妨设已知正方体的棱长为1，以A为坐标原点O建立空间直角坐标系，如图，由已知条件，可求得、B（1，0，0）、C（1，1，0），，、，，.因为，，所以所以点评：在证明线线垂直时，若给出的几何体能够建立空间直角坐标系，就先建立坐标系，将问题转化为用代数运算证明线线垂直，以避免繁琐的推理论

2、证。二、求线线、线面、面面所成角例2、在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，为的中点，应用空间向量方法求解下列问题：（1）求证：；（2）求EF与所成角的余弦值。解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有，、C（0，1，0）、（1）证明：，，所以，所以，即（2）解：因为，所以又，，所以，即异面直线EF与所成角的余弦值为例3、正方体中，E是的中点，求BE与平面所成角的余弦值。解：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B（2，2，0），，设平面的法向量为n＝（x，y，z），因为，

3、所以，所以，令y＝1，则n＝（－1，1，0），，设BE与平面所成角为，则，即BE与平面所成角的余弦值为求距离问题由于点到面距离是求解重点，线面距、面面距可以转化为点面距，点面距的实质是平面的单位法向量与从该点出发的斜线的向量的数量积的绝对值，借助法向量与数量积运算可以求距离。例4、已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P是ED的中点，求：P点到平面EFB的距离。解：建立空间直角坐标系，则B（a，a，0），E（a，0，a），F（0，a，a），，，设平面EFB的一个法向量为n＝（x，y，z），则，令y＝1，

4、得z＝1，x＝1，所以n＝（1，1，1），，设P点到平面EFB的距离为d，所以，所以P点到平面EFB的距离为