微分几何 陈维桓 习题答案3

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1、习题答案3p.148习题4.11.求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：；(2)旋转椭圆抛物面：；(3)双曲抛物面：；(4)√一般柱面：；(5)√劈锥曲面：.解.(1)，，，.又，，.所以，，，.(2)，，，.，，，.(3)，，.不妨设.则，，，.(4)，，，，，，.(5)，，，13，，，，.□2.求下列曲面的第二基本形式：(3)，是常数.解.由条件知在曲面上，并且，即.(1)因此是曲面的法向量.不妨设.则单位法向量.于是由于，故曲面的第二基本形式为.如果由(1)解出，再代入上式可得.□3.求曲线的切线曲面的第二基本形式，其中s是该曲线的弧长参数.解.设正则曲

2、线的曲率和挠率分别为，Frenet标架为，它的切线曲面的参数方程为.则，，，，.，，.□6.证明：如果在可展曲面上存在两个不同的单参数直线族，则是平面.证明.设可展曲面的参数方程为.则沿着直母线的单位法向量是常向量，即.所以第二类基本量中.剩下的只要证明，从而由定理1.1，是平面.为此，设在上任一固定点，异于直母线的另一族直线中过该点的直线的弧长参数方程为，并且.则在处的单位切向量是，它不能与在的直母线的切向量平行，故.13另一方面，因为是直线，有，即.所以.于是在点成立.因为，可得.由于点是任意的，可知.□p.157习题4.21.设悬链面的方程是，求它的第一、第二基

3、本形式，并求它在点处沿切向量的法曲率.解.不妨设.令，则，，，.(1)悬链面的方程可化为，于是，，.，，..在点处，切向量中，曲面的法曲率.□注.参数是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网.此时，，，.4.设曲面和曲面的交线为.设p为曲线上一点，假定曲面和曲面在点p处沿曲线的切方向的法曲率分别是和.如果曲面和曲面在点p处的法向量的夹角是，求曲线在点p处的曲率.13解.设在p点C的Frenet标架为，曲率为，曲面的单位法向量分别为.因为均垂直于C的切方向，所以它们共面.不妨设绕着由到的有向角为，到的有向角为，.令，.则，.于是，.当时，只有种情况：(1)，即.此

4、时，，所以.则.(1)因此.化简得.因此.(2)，即或.此时，或，，所以.则同理有，(2).当(或)时，有(或)，从而(或).此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定.□7.设是曲面上的一条非直线的渐近线，其参数方程为，其中s是弧长参数.证明：的挠率是.证明.设曲面的参数方程为，单位法向量为.设C的弧长参数方程为，Frenet标架为，曲率为.由于是上的渐近线，根据定理2.4，有，其中，.根据Frenet公式，.利用Lagrange恒等式，可得.将，代入上式，得13.□p.166习题4.31.求抛物面在原点处的法曲率和主曲率.解.曲面的参数方程为，故，，，.，，所

5、以在原点处，，.不妨设.因为在原点处，且，所以分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率.□注.在原点，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是.4.证明：曲面上任意一点p的某个邻域内都有正交参数系，使得参数曲线在点p处的切方向是曲面在该点的两个彼此正交的主方向.证明.根据第三章定理4.2，在上任意一点p的某个邻域内都有正交参数系.假设这个正交参数系是.如果p点是脐点，则任何方向都是主方向，从而这个正交参数系的参数曲线在点p处的切方向是曲面在该点的两个彼此正交的主方向.设p点不是脐点.则在点p处有两个单位正交的主向量.设.作参数变换，.由于，上述参数变换是

6、可允许的.在新参数下，，.特别在p点，有，是曲面在p点的两个彼此正交的单位主向量.13由于，参数系不一定是正交参数，只知道在p点.因此还要作一次参数变换，取-曲线及其正交轨线作为参数曲线.考虑1次微分式.根据常微分方程知识，存在积分因子使得是一个全微分，即有函数使得.现在作参数变换，.则，参数变换是可允许的.在新参数下，，，所以这说明参数系是正交的.因为在p点，，有，，所以是曲面在p点的两个彼此正交的主方向.□5.设在曲面S的一个固定点p的切方向与一个主方向的夹角为，该切方向所对应的法曲率记为，证明：，其中.证明.根据Euler公式，.所以有.□p.175习题4.42

7、.求旋转面的高斯曲率，其中为平面曲线的弧长参数.解.，，(1).因为曲面是正则的，所以，不妨设.因为是的弧长参数，所以，，，(2)其中是的相对曲率.因此曲面的单位法向量为.13所以，.(3)由(1)，(2)和(3)可知，，，，，.根据定理4.3，的主曲率为，，Gauss曲率为.□4.求双曲抛物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它们所对应的主方向.解.因为，.所以，，.又，，其中.因为，，，所以.于是，.因为，，，所以主曲率对应的主方向为，13其中.所以.同理，另一个主曲率为，对应的主方向为.□注.由可知参数曲线网是渐近曲线网，而主方向是渐近方向的