天津科技大学李伟版高等数学第四章习题答案

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1、习题4—1（A）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）不定积分是的一个原函数；（2）在不定积分的运算性质中，只有加法运算和数乘运算法则而没有乘法法则，因而遇到求乘积的不定积分时，可考虑是否能将被积函数“积化和差”，从而用加法法则分别求不定积分；（3）积分运算与微分运算是互逆运算，因此对一个函数求导一次，积分一次，不论两种运算的先后顺序如何，最后的结果还是原来的函数；（4）切线的斜率同为的曲线有无数条，这些曲线的方程可以写成（为任意常数）的形式，要想有唯一解，还必须另外有能确定任意常数的条件．答：（1）不正确．不定积分

2、的结果是的一个原函数再加一个任意常数．（2）正确．这只是求乘积的不定积分方法之一，以后还会介绍其它方法．（3）不正确．先积分再求导，两种运算结果相互抵消，最后的结果还是原来的函数；但是，先求导再积分，两种运算结果不能相互抵消，最后的结果与原来的函数相差一个任意常数．（4）正确．这就是不定积分的几何意义．2．验证函数、、都是同一个函数的原函数，它们相互之间相差一个常数吗？解：因为，，，所以、、都是同一个函数的原函数．根据原函数的性质，它们彼此之间相差一个常数，其实由三角函数公式也可以得到它们彼此之间相差一个常数，事实上：，．

3、3．若，求函数．解：等式两边同时对求导，得．4．一曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标平方的倒数，求该曲线方程．解：设所求曲线为，由已知有，则，再由曲线过点，有，得，所求曲线为．5．求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）．解：（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）．（7）．（8）．（9）．（10）．（11）．（12）．6．若函数的一个原函数为，求．解：因为是函数的一个原函数，根据不定积分的定义，则．习题4—1（B）1．一物体由静

4、止开始以初速度沿直线运动，经过s后其加速度，求9s后物体离开出发点的距离是多少？这时物体运行的速度是多少？解：设时刻时物体离开出发点的距离为，这时的速度为，由，则，因为时，，得；所以．由，则，因为时，，得，所以．．2．求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解：（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）．（7）．（8）．（9）．（10）．3．若函数满足，求．解：由，得，所以．4．若函数满足，求不定积分．解：由，有，所以．习题4—2（A）1．判断下列叙述是否正确，

5、并说明理由：（1）用凑微分法所求的不定积分，被积函数必须具备、或能化成的形式；（2）用凑微分法求不定积分时，其中中可以任意添加常数项或改变的系数而成为的形式，需要注意的是，这样变换后被积函数需乘一个常数因子；（3）形如的积分，积分结果一般为对数函数与反正切函数之和．答：（1）正确．但是必须有原函数．（2）正确．因为（）总是成立的．（3）不正确．在很多时候结果中只有对数函数或只有反正切函数，有时也会出现有理函数．事实上：①当，时，；②当，时，；③特别，当，，且时，；④当，时，；⑤当，时，；⑥特别，，且时，；⑦当，时，；⑧当，

6、时，；⑨当，，且时，．2．在下列各题中的横线上填入适当数值，使得等号成立：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1），，填．（2），，填．（3），，填．（4），，填．（5），，填．（6），，填．3．求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）．解：（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）．（7）．（8）．（9）．

7、（10）．（11）．（12）．（13）．（14）．（15）．（16）．（17）．（18）．（19）．（20）．（21）．或：．（22）．（23）．（24）．习题4—2（B）1．求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．解：（1）．（2）．（3），或：．（4）．此题还有以下几种作法：①记，，则所以，．②．③，（其中）．④，则，，于是本题还可以用下一节的“万能代换”求解．（5）；（6）．（7）．（8）．2．已知函数满足，当时，求．解：由，有，所以．习题4—3（A）1．判断下列叙述是否正确，

8、并说明理由：（1）在求形如、、的不定积分时都是采取令作变量代换的三角换元法，从而把无理函数的积分转化为三角函数有理式的积分；（2）当被积函数含有的根式时，为了变无理式为有理式，通常将看作一个新的换元．答：（1）不正确．三个积分分别用三角代换、、．（2）正确．但是，有时也可以采用有理化的方法，如等．2．求