选修1-2复数代数形式的乘除运算

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1、第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算　〖课前准备〗【课型】新授课【课时】1教时【课标要求】1.知识与能力掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．2.过程与方法运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程．培养学生的发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．3.情感态度与价值观通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清

2、晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．【重点.难点】重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算难点：复数除法的运算法则．【教学用具】多媒体.〖教学过程〗一、知识回顾：①复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.②复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.③复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1.④复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).以上可以得出：复数的加减法法则及运算律和多项式

3、的加减法比较类似，那么复数的乘除和多项式的乘除又是如何呢？二、新课讲授【规定】复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积：(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.【明确】两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．【探究】复数的乘法是否满足交换律①、结合律②以及乘法对加法的分配律③？【解答】设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2

4、，b3∈R).①z1z2=z2z1.证明：∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.②(z1z2)z3=z1(z2z3).证明：∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-

5、(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).③z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+

6、a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a

7、1b2+a1b3)i∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.【例２】计算(1－2i)(3＋4i)(-2＋i)．【解】(1－2i)(3＋4i)(-2＋i)＝(3＋4i－6i－8i2)(-2＋i)＝(11－2i)(-2＋i)＝(-22+2)＋(11+4)i＝-20+15i.【总结】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.【例３】计算：（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+i)2.【分析】本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式（与实数系中乘法公式相对应的公式）计算．【解】

8、（1）(3+4i)(3-4i)=32-（4i）2=9-(-16)=25;（2）（1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=