3.2.2 复数代数形式的乘除运算 学案（人教A版选修1-2）

《3.2.2 复数代数形式的乘除运算 学案（人教A版选修1-2）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.2.2　复数代数形式的乘除运算课标解读1.掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)3．理解共轭复数的概念．(易错点)复数的乘法【问题导思】　1．如何规定两个复数相乘？【提示】　两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？【提示】　满足．　(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)对于任意z1，z2

2、，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3复数的除法与共轭复数【问题导思】　　如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？【提示】　＝＝＝.　(1)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d为实数，c＋di≠0)，z1，z2进行除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式再把分子与分母都乘以c－di化简后可得结果：＋i.(2)共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，

3、z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数代数形式的乘除法运算　(1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)·z＝2i，则z＝(　　)A．－1＋i　　B．－1－i　　C．1＋i　　D．1－i(2)(2013·大纲全国卷)(1＋i)3＝(　　)A．－8B．8C．－8iD．8i(3)计算()6＋＝________.【思路探究】　(1)先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．(3)先计算再乘方，且将的分母实数化后再合并．【自主解答】　(1)设z

4、＝a＋bi，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i.根据复数相等的充要条件得解得∴z＝－1＋i.故选A.(2)原式＝(1＋i)(1＋i)2＝(1＋i)(－2＋2i)＝－2＋6i2＝－8.(3)法一　原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i.法二　原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i.【答案】　(1)A　(2)A　(3)－1＋i1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi(a，b∈R)的形式．2．记住以下结论可以提高运算速度(1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；(2)＝－i，＝i；(3

5、)＝－i.计算：(1)(1－i)2；(2)(－＋i)(＋i)(1＋i)；(3).【解】　(1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.(2)(－＋i)(＋i)(1＋i)＝(－－i＋i＋i2)(1＋i)＝(－＋i－)(1＋i)＝(－＋i)(1＋i)＝－－i＋i－＝－＋i.(3)＝＝＝＋i.虚数单位i的幂的周期性及其应用　(1)计算：＋()2013；(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2013的值．【思路探究】　将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．【自主解答】　(1)原式＝＋[()2]1006·()＝i＋()1006·

6、＝i＋i1006·＝－＋i(2)1＋z＋z2＋…＋z2013＝，而z＝＝＝＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2013＝＝＝1＋i.1．要熟记in的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．在本例(2)中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2013的值．【解】　由题意知1＋z＋z2＋…＋z2013＝1＋i＋i2＋…＋i2013＝＝＝＝1＋i.∴原式＝1＋i.共轭复数的应用　设z1，z2∈C，A＝z1·＋z2·，B＝z1·＋z2·，问A与B是否可以比较大小？为什么？【思路探究】　设出z1

7、，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论【自主解答】　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则＝a－bi，＝c－di，∴A＝z1·＋z2·＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi)＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2＝2ac＋2bd∈R，B＝z1·＋z2·＝

8、z1

9、2＋

10、z2

11、2＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，∴A与B可以比较大小．1．z·＝

12、z

13、2＝

14、

15、2是共轭复数的常用性质．2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．3．若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数

16、，利用此性质可证明一个复