3.2.2 复数代数形式的乘除运算 学案(人教A版选修1-2)

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1、3.2.2 复数代数形式的乘除运算课标解读1.掌握复数代数形式的乘、除运算.(重点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(难点)3.理解共轭复数的概念.(易错点)复数的乘法【问题导思】 1.如何规定两个复数相乘?【提示】 两个复数相乘类似于多项式相乘,只要在所得结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.2.复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗?【提示】 满足. (1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.(2)对于任意z1,z2

2、,z3∈C,有交换律z1·z2=z2·z1结合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3复数的除法与共轭复数【问题导思】  如何规定两个复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,c+di≠0)相除?【提示】 ===. (1)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d为实数,c+di≠0),z1,z2进行除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式再把分子与分母都乘以c-di化简后可得结果:+i.(2)共轭复数如果两个复数满足实部相等,虚部互为相反数时,称这两个复数为共轭复数,

3、z的共轭复数用表示.即z=a+bi,则=a-bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数代数形式的乘除法运算 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1-i)·z=2i,则z=(  )A.-1+i  B.-1-i  C.1+i  D.1-i(2)(2013·大纲全国卷)(1+i)3=(  )A.-8B.8C.-8iD.8i(3)计算()6+=________.【思路探究】 (1)先设出复数z=a+bi,然后运用复数相等的充要条件求出a,b的值.(2)直接利用复数的乘法运算法则计算.(3)先计算再乘方,且将的分母实数化后再合并.【自主解答】 (1)设z

4、=a+bi,则(1-i)(a+bi)=2i,即(a+b)+(b-a)i=2i.根据复数相等的充要条件得解得∴z=-1+i.故选A.(2)原式=(1+i)(1+i)2=(1+i)(-2+2i)=-2+6i2=-8.(3)法一 原式=6+=i6+=-1+i.法二 原式=6+=i6+=-1+i.【答案】 (1)A (2)A (3)-1+i1.复数的乘法类比多项式相乘进行运算,复数除法要先写成分式形式后,再将分母实数化,注意最后结果要写成a+bi(a,b∈R)的形式.2.记住以下结论可以提高运算速度(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;(2)=-i,=i;(3

5、)=-i.计算:(1)(1-i)2;(2)(-+i)(+i)(1+i);(3).【解】 (1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(2)(-+i)(+i)(1+i)=(--i+i+i2)(1+i)=(-+i-)(1+i)=(-+i)(1+i)=--i+i-=-+i.(3)===+i.虚数单位i的幂的周期性及其应用 (1)计算:+()2013;(2)若复数z=,求1+z+z2+…+z2013的值.【思路探究】 将式子进行适当的化简、变形,使之出现in的形式,然后再根据in的值的特点计算求解.【自主解答】 (1)原式=+[()2]1006·()=i+()1006·

6、=i+i1006·=-+i(2)1+z+z2+…+z2013=,而z====i,所以1+z+z2+…+z2013===1+i.1.要熟记in的取值的周期性,要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题,应先利用数列方法求和后再求解.在本例(2)中若z=i,求1+z+z2+…+z2013的值.【解】 由题意知1+z+z2+…+z2013=1+i+i2+…+i2013====1+i.∴原式=1+i.共轭复数的应用 设z1,z2∈C,A=z1·+z2·,B=z1·+z2·,问A与B是否可以比较大小?为什么?【思路探究】 设出z1

7、,z2的代数形式→化简A,B→判断A,B是否同为实数→结论【自主解答】 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则=a-bi,=c-di,∴A=z1·+z2·=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi)=ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2=2ac+2bd∈R,B=z1·+z2·=

8、z1

9、2+

10、z2

11、2=a2+b2+c2+d2∈R,∴A与B可以比较大小.1.z·=

12、z

13、2=

14、

15、2是共轭复数的常用性质.2.实数的共轭复数是它本身,即z∈R⇔z=,利用此性质可以证明一个复数是实数.3.若z≠0且z+=0,则z为纯虚数

16、,利用此性质可证明一个复

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