066直接证明与间接证明(复习设计)

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1、SCH数学题库(2014届高三年文科数学一轮复习)欢迎加入高中数学群(200037989)专题066：直接证明与间接证明（复习设计）考点要求：1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法．3.在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的

2、．　　知识结构：1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：→→→…→.（寻找使结论成立的条件）2．间接证明一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．

3、从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．3.反证法：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．基础自测1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”“索”的“因”应是(　　)．A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：＜ab2－ac＜3a2(a＋c)2－ac＜3a2a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0[学优gkstk]－2a2＋ac＋c2＜02a2－ac－c2＞0(a－c)(2a＋c)＞0(a－c)(a－

4、b)＞0.[学优]2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(　　)．-5-SCH数学题库(2014届高三年文科数学一轮复习)欢迎加入高中数学群(200037989)A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b解析　a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.∴a＞b.答案　A3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)．A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析　∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数

5、或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．答案　D4．设a、b∈R，若a－

6、b

7、＞0，则下列不等式中正确的是(　　)．A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞0解析　∵a－

8、b

9、＞0，∴

10、b

11、＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案　D5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．答案　∠BAP＝∠CAP　∠BAP

12、＞∠CAP　　例题选讲：1.综合法的应用例1：设a，b，c＞0，证明：＋＋≥a＋b＋c.分析：用综合法证明，可考虑运用基本不等式．证明　∵a，b，c＞0，根据均值不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时取等号．即＋＋≥a＋b＋c.小结：综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．学生练习1：设a，b为互不相等的正数，且a＋b＝1，证明

13、：＋＞4.证明　＋＝·(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.又a与b不相等．故＋＞4.2.分析法的应用-5-SCH数学题库(2014届高三年文科数学一轮复习)欢迎加入高中数学群(200037989)例2：已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.分析：先去分母，合并同类项，化成积式．证明　∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．小结：逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过