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时间:2018-08-03
《全国通用版版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第讲基本不等式优选学案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第34讲 基本不等式考纲要求考情分析命题趋势1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2017·江苏卷,102017·山东卷,122017·天津卷,13对基本不等式的考查,主要是利用不等式求最值,且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.分值:5分1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:!!!!__a>0,b>0__####.(2)等号成立的条件:当且仅当!!!!__a=b__####时取等号.2.几个重要不等式(1)a2+b2≥!!!!__2ab__####(a,b∈R).(2)+≥!!!!__2__##
2、##(a,b同号).(3)ab≤2(a,b∈R).(4)≥2(a,b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a=b.3.算术平均数与几何平均数10设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为!!!!____####,几何平均数为!!!!____####,基本不等式可叙述为!!!!__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__####.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当!!!!__x=y__####时,x+y有最!!!!__小__####值,是!!!!__2__####(简记:积定和最小);(2)如果和x+
3、y是定值p,那么当且仅当!!!!__x=y__####时,xy有最!!!!__大__####值,是!!!!____####(简记:和定积最大).1.思维辨析(在括号内打“√”或“”).(1)函数y=x+的最小值是2.( × )(2)函数f(x)=cosx+,x∈的最小值等于4.( × )(3)“x>0,y>0”是“+≥2”的充要条件.( × )(4)若a>0,则a3+的最小值为2.( × )解析 (1)错误.因为x没有确定符号,所以不能说最小值为2.(2)错误.利用基本不等式时,等号不成立.(3)错误.不是充要条件,当x<0,y<0时也成立.(4)错误
4、.最小值不是定值,故不正确.2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为( A )A.18 B.36 C.81 D.243解析 ∵m>0,n>0,∴m+n≥2=18.当且仅当m=n=9时,等号成立.3.若M=(a∈R,a≠0),则M的取值范围为( A )A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]C.[4,+∞) D.[-4,4]解析 M==a+.当a>0时,M≥4;当a<0时,M≤-4.104.若x>1,则x+的最小值为!!!!__5__####.解析 x+=x-1++1≥4+1=5,当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立
5、.5.若x>0,y>0,lgx+lgy=1,则z=+的最小值为!!!!__2__####.解析 由已知条件lgx+lgy=1,可知xy=10.则+≥2=2,故min=2,当且仅当2y=5x时取等号.又xy=10,即x=2,y=5时等号成立.一 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式.对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部
6、分放大或者缩小,在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性.【例1】(1)已知x>0,y>0,z>0,求证:·≥8.(2)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:++≥9.证明 (1)∵x>0,y>0,z>0,∴+≥>0,+≥>0,+≥>0,∴≥=8,当且仅当x=y=z时等号成立.(2)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴++=++10=3++++++=3+++≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时取等号.二 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“
7、三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.【例2】(1)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为( B )A. B. C. D.(2)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=( C )A.1+ B.1+ C.3 D.4(3)已知x<,求f(x)=4x-2+的最大值.解析 (1)∵08、当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.(2)∵x>2,∴x-2>0,∴f(x)
8、当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.(2)∵x>2,∴x-2>0,∴f(x)
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