全国通用版2019版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第36讲直接证明与间接证明优选学案

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1、全国通用版2019版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第36讲直接证明与间接证明优选学案考纲要求考情分析命题趋势1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.xx·全国卷Ⅱ，9xx·北京卷，14xx·江苏卷，20xx·浙江卷，20直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.分值：7～10分1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些

2、数学定义、定理、公理等，经过一系列的！！！！__推理论证__####，最后推导出所要证明的结论！！！！__成立__####，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：―→―→―→…―→(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的！！！！__结论__####出发，逐步寻求使它成立的！！！！__充分条件__####，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：―→―→―→…―

3、→.2．间接证明反证法：假设原命题！！！！__不成立__####(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出！！！！__矛盾__####，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　√　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　×　)(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　×　)(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思

4、路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　√　)解析　(1)正确．(2)错误．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，不是充要条件．(3)错误．用反证法证明时，推出的矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾．(4)正确．2．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的(　B　)A．充分条件　　B．必要条件C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件解析　由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件．3．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(

5、　B　)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析　“至少有一个不大于60°”的反面是“都大于60°”．4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为！！！！__等边三角形__####.解析　由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝.又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c

6、)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．5．下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是！！！！__3__####.解析　要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故符合的条件有①③④，共3个．一　分析法分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．【例1】已知a＞0，求证：－≥a＋－

7、2.证明　欲证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，∵a>0，故只需证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只需证2≥，只需证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．二　综合法综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．【例2】(1)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，若ab>cd，证明：①＋>＋

8、；②

9、a－b

10、<

11、c－d

12、.(2)设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：＋＝2.证明　(1)①因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2，所以＋>＋.②因为(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，(c－d)2＝(c＋d)2－4cd，由题意可知a＋b＝c＋d，ab>cd，所以(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd，所以

13、a－b

14、<

15、c－d

16、.(2)∵a，b