高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第讲直接证明与间接证明学案

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1、第37讲　直接证明与间接证明考纲要求考情分析命题趋势1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.2016·江苏卷，202016·浙江卷，202016·北京卷，20直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.分值：7～10分1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的__推理论证__，最后推导出所要证明的结论__成立__，

2、这种证明方法叫做综合法．②框图表示：―→―→―→…―→(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的__充分条件__，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：―→―→―→…―→.2．间接证明11反证法：假设原命题__不成立__(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出__矛盾__，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方

3、法叫做反证法．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　√　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　×　)(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　×　)(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　√　)解析(1)正确．(2)错误．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，不是充要条件．(3)错误．用反证法证明时，推出的矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等

4、相矛盾．(4)正确．2．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的(　B　)A．充分条件　　B．必要条件C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件解析由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件．3．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　B　)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析“至少有一个不大于60°”的反面是“都大于60°”．4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C

5、成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__等边三角形__.解析由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．115．下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__3__.解析要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．一　分析法分析法的证明思路：先

6、从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．【例1】已知a＞0，求证：－≥a＋－2.证明要证－≥a＋－2，只要证＋2≥a＋＋，∵a>0，故只要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只要证2≥，只要证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．二　综合法综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论

7、式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．【例2】已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝11g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤g(x)．解析(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得解得a＝0，b＝1.(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)，h′(x)＝－x2＋x－1＝，∵x>－1，∴当－10；当x>0

8、时，h′(x)<0.则h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．三　反证法(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条