2019版高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第37讲 直接证明与间接证明学案

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1、第37讲　直接证明与间接证明考纲要求考情分析命题趋势1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.2016·江苏卷，202016·浙江卷，202016·北京卷，20直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.分值：7～10分1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的__推理论证__，最后推导出所要证明的结论__成立__，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：―→―

2、→―→…―→(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的__充分条件__，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：―→―→―→…―→.2．间接证明反证法：假设原命题__不成立__(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出__矛盾__，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)综合法的思维过程是由因导果

3、，逐步寻找已知的必要条件．(　√　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　×　)(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　×　)(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　√　)解析(1)正确．(2)错误．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，不是充要条件．(3)错误．用反证法证明时，推出的矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾．(4)正确．2．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的(　B　)A．充分条件　　B．必要条件C．充要条件　

4、　D．既不充分也不必要条件解析由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件．3．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　B　)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析“至少有一个不大于60°”的反面是“都大于60°”．4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__等边三角形__.解析由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac

5、cosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．5．下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__3__.解析要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．一　分析法分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．【例1】已知a＞0，求证：－≥a＋－2.证明要证－≥a＋－2，只要证＋2

6、≥a＋＋，∵a>0，故只要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只要证2≥，只要证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．二　综合法综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．【例2】已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤

7、g(x)．解析(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得解得a＝0，b＝1.(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)，h′(x)＝－x2＋x－1＝，∵x>－1，∴当－10；当x>0时，h′(x)<0.则h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．三　反证法(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可

8、以是与已知条件矛盾，与假