2020高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时作业37 直接证明与间接证明 文

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1、课时作业37　直接证明与间接证明[基础达标]一、选择题1．要证明＋<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(　　)A．综合法B．分析法C．比较法D．归纳法解析：要证明＋<4，只需证明(＋)2<16，即8＋2<16，即证明<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.答案：B2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是

2、“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：B3．在△ABC中，sinAsinC0，即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，从而B>，故△ABC必是钝角三角形．答案：C4．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　)A．x2>2B．x2>4C．x2>0D．x2>1解析：因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<2，即证0<，即证x2>0，因为x>0

3、，所以x2>0成立，故原不等式成立．答案：C5．已知p＝a＋(a>2)，q＝2(x>0)，则(　　)A．p>qB．pa＋b，则a，b应满足的条件是________．解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝________.解析：因为a∥b，所以(x＋1)×(－2)＝2×4，解得x＝－5.答案：－58．[2019

4、·太原模拟]用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________________．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案：x≠－1且x≠1三、解答题9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列．证明：由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．10．已知a，b是正实数，求证＋≥＋.证明：证法一　(

5、作差法)因为a，b是正实数，所以＋－－＝＋＝＝≥0，所以＋≥＋.证法二　(分析法)已知a，b是正实数，要证＋≥＋，只需证a＋b≥(＋)，即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，即证a＋b－≥，就是要证a＋b≥2.显然a＋b≥2恒成立，所以＋≥＋.证法三　(综合法)因为a，b是正实数，所以＋＋＋≥2＋2＝2＋2，当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥＋.证法四　(综合法)因为a，b是正实数，所以(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥＋.[能力挑战]11．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2

6、x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.