2019版高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明第34讲基本不等式优选学案

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1、第34讲 基本不等式考纲要求考情分析命题趋势1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2017·江苏卷,102017·山东卷,122017·天津卷,13对基本不等式的考查,主要是利用不等式求最值,且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.分值:5分1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:!!!!__a>0,b>0__####.(2)等号成立的条件:当且仅当!!!!__a=b__####时取等号.2.几个重要不等式(1)a2+b2≥!!!!__2ab__####(a,b∈R).(2)+≥!!!!__2

2、__####(a,b同号).(3)ab≤2(a,b∈R).(4)≥2(a,b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a=b.3.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为!!!!____####,几何平均数为!!!!____####,基本不等式可叙述为!!!!__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__####.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当!!!!__x=y__####时,x+y有最!!!!__小__####值,是!!!!__2__####(简记:积定和最小);(2

3、)如果和x+y是定值p,那么当且仅当!!!!__x=y__####时,xy有最!!!!__大__####值,是!!!!____####(简记:和定积最大).1.思维辨析(在括号内打“√”或“”).(1)函数y=x+的最小值是2.( × )(2)函数f(x)=cosx+,x∈的最小值等于4.( × )(3)“x>0,y>0”是“+≥2”的充要条件.( × )(4)若a>0,则a3+的最小值为2.( × )解析 (1)错误.因为x没有确定符号,所以不能说最小值为2.(2)错误.利用基本不等式时,等号不成立.(3)错误.不是充要条件,当x<0,y<0

4、时也成立.(4)错误.最小值不是定值,故不正确.2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为( A )A.18  B.36  C.81  D.243解析 ∵m>0,n>0,∴m+n≥2=18.当且仅当m=n=9时,等号成立.3.若M=(a∈R,a≠0),则M的取值范围为( A )A.(-∞,-4]∪[4,+∞)  B.(-∞,-4]C.[4,+∞)  D.[-4,4]解析 M==a+.当a>0时,M≥4;当a<0时,M≤-4.4.若x>1,则x+的最小值为!!!!__5__####.解析 x+=x-1++1≥4+1=5,当且仅当x-1

5、=,即x=3时,等号成立.5.若x>0,y>0,lgx+lgy=1,则z=+的最小值为!!!!__2__####.解析 由已知条件lgx+lgy=1,可知xy=10.则+≥2=2,故min=2,当且仅当2y=5x时取等号.又xy=10,即x=2,y=5时等号成立.一 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式.对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.(2)利用基本

6、不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小,在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性.【例1】(1)已知x>0,y>0,z>0,求证:·≥8.(2)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:++≥9.证明 (1)∵x>0,y>0,z>0,∴+≥>0,+≥>0,+≥>0,∴≥=8,当且仅当x=y=z时等号成立.(2)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴++=++=3++++++=3+++≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时取等号.二 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式解题一定

7、要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.【例2】(1)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为( B )A.  B.    C.  D.(2)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=( C )A.1+  B.1+   C.3  D.4(3)已知x<,求f(x)=4x-2+的最大值.解析 (1)∵0

8、,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤32=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.(2)∵x>2,∴x-2>0,∴f(x)=x+=(x

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