关于正整数分拆数p(n)的历史注记

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1、第%&卷第%期内蒙古师范大学学报自然科学（汉文）版W9>(%&T9(%!""!年’月89=<5J>9RS5523JT9V53M2KG325G2?C3N395）K2X(!""!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!关于正整数分拆数!（"）的历史注记罗见今&，王海林!（&(内蒙古师范大学科学史与科技管理系，内蒙古呼和浩特"&""!!；!(空军雷达学院数学教研室，湖北武汉$%""&"）摘要：正整数的分拆数!（"）及其估值是数论、组合数学讨论的

2、一个重要问题，推动了数论、逼近论、生成函数变换、组合计数等的发展(按照组合计数和逼近的观点，讨论了!（"）几种估值的优劣，介绍了哈代、拉马努占等的杰出成果及在中国的影响(关键词：组合计数；整数分拆；!（"）估值中图分类号：)&&!文献标识码：*文章编号：&""&#+,%（-!""!）"%#"!’"#".正整数的分拆（划分、剖分）问题是数论、组合数学讨论的一个重要问题，莱布尼兹（/(0(1234536，&.$.7&,&.）发轫于先，&.’’年他给约翰·伯努利（89:5;2<59=>>3，&..,7&,$+）的信中认为“这个问题我看并非易举”［&］，在他

3、未发表的手稿中曾多次提及(后来欧拉（1(?=>2<，&,",7&,+%）将它发展成一种完整的分拆理论，&,$&、&,$+年均有重要工作发表(德国组合学派的兴登堡［!（］@(A(B35C254=，&,’!7&+,&）、棣么甘（*(H2I9M2FN2<，&+&$7&+’,）、凯莱（*(@JL>2L，&+!&7&+’-）、麦克马洪（O(*(IJGIJ:95，&+-$7&’!’）等多位数学家的名字与这一问题相联系［%］(这个问题

4、!"世纪!"年代曾成为数论关注的一个热点，以后又成为组合计数、组合模型探讨的领域，收入组合数学的书中(关于!（"）的内容，除互联网上有许多网页外，常见于数论和组合数学论文和专著中(本文据教学中遇到的问题，按照计数和逼近的观点，讨论了有关精度，重点介绍历史上的杰出成果(&!（"）的定义和性质设"为任意正整数#将"无序剖分成有重正整数的方案数记作!（"）#定义!（"）P&#例如!（$）P-，即$；%，&；!，!；!，&，&；&，&，&，&#其中，不对相异的排序%，&与&，%重复计数，即是“无序”；易见!，!即为“有重”#!（"）是多重集合$｛"，%｝分拆

5、成无序多重子集（其个数不作规定）的个数#!（"）是方程&&Q!&!Q⋯Q"&"P"（&）非负整数解组的个数#这两点是!（"）定义的等价命题#收稿日期：!""!#"$#"%基金项目：天元（国家自然科学数学）基金数学史方向资助项目“近代数学史研究”万方数据作者简介：罗见今（&’$!#），男，河南省新野人，内蒙古师范大学教授(第>期罗见今等：关于正整数分拆数!（#）的历史注记·&@%·!"（#）是#个相同的球放入（$$!"）个相同的盒子中（允许"!$个盒子空）的放法数%由此可构造一个组合模型%设!（#）的生成函数为&（’），则##&（’）"(（%!’#）!

6、%（&）"!（(）’)#()$#)%生成函数的技巧被广泛应用于研究计数函数，要归功于欧拉，在他划时代的著作《无穷小分析引论》［’（］()*+,-./*0,)0)1)23450)6()70)0*,+.8，%9’:）中大大扩充了它的应用，成为研究!（#）问题的有力工具%!（#）的递推关系为：（%）!（$）"%；!（#）"$（#;$）（&）!（#）"!（#!%）(&!(>(&<(（!%）(!%）<（!%）(!%<⋯（#$%）（>）!（#!!（#!&&表%!（#）的数值表（#"%$(<"）("$%&>’=?9

7、:@$’&?&9=?$’>9>>:&$’&&?@??’?9’$:9@?:%=9@?’’9?=?>’%9>%%=?9@&?:’&’’=:>&>@@’>%%&%=$=’?@9&$=%:$$’>&9?’%%&>=@&&99%$$&:>’@=>%9’&:%=:@%>$$%=?=>@&9:>&$=$?&==9&=>>:$9>>%$%%&==%$%’>?>&?%>&@@>%%=$=’@@?%:=?:@&>>>:’?@:&$%$%99’=%>=%=9=%&>%$9=%9=>:?%==%9’%?>$9$:@=$$&?=’>??$@&??@9&$=9%9?%@=:%’

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