第六章多元函数积分学及其应用

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1、《高等数学》课程学习指导与讨论题第六章多元函数积分学及其应用由于在理论和实际问题中经常遇到许多非均匀分布在平面或空间的各种几何形体上量的求和问题，因此，需要把一元函数积分加以推广，研究多元函数在几何形体上的积分问题，第五章中已经指出，多元函数包含多元数量值函数与多元向量值函数，而平面或空间的几何形体又包括平面或空间区域，曲线段(平面的或空间的)和曲面块等，因此，多元函数的积分种类较多，大体可分为两大类型：第一类称为多元数量值函数的积分，包括重积分(重点讨论二重与三重积分)，第一型线积分和第一型面积分；第二类

2、包括第二型线积分和第二型面积分，本章将学习这些积分的概念、性质、计算方法和应用，对于第二型的线、面积分，我们将从向量形式出发，在讲解概念和计算方法的基础上，进一步讨论应用广泛的三大公式，即Green公式，stokes公式的Gauss公式，并介绍了旋度和散度这两个重要的概念以及几种常见的特殊向量场，与学习多元函数微分学一样，学习本章时也应随时将它与一元函数的有关内容加以对比，注意它们的共性与个性。本章教学实施方案：总学时34，分配如下：讲课：24学时。1．多元数量值函数积分的概念及性质(1学时)；2．二重积分

3、的计算方法(3学时)；3．三重积分的计算(2学时)；4．重积分的应用(2学时)；5．含参变量的积分与反常重积分(3学时)；6．第一型线积分与面积分(3学时)；7．第二型线积分与面积分(4学时)；8．各种积分的联系及其在场论中的应用(6学时)讨论：4学时，1．重积分的概念计算与应用(2学时)；2．线面积分的概念计算及其应用习题课：6学时，1．重积分的计算方法及应用(2学时)；2．线、面积分的计算方法及应用(2学时)；3．三个积分公式及其应用。第一节多元数量值函数积分的概念及性质一、教学内容与重点多元数量值函数

4、积分(包括重积分、第一型线积分和面积分)的概念；积分存在的必要条件与充分条件；积分的基本性质。二、教学要求111．正确理解多元数量值函数积分的概念，它将重积分(主要讲二重积分与三重积分)、第一型线积分与第一型面积分统一为平面或空间的几何形体上的积分(即非均匀分布的可加量的求和)，同一元函数的积分类似，多元数量值函数的各种积分本质仍然是一个和式的极限，只是由于积分区域(或几何形体)与被积函数不同，从而产生了不同类型的积分。2．知道多元数量函数积分存在的必要条件(在积分区域()上有界)和充分条件(()为可度量的

5、紧集，())。3．熟悉积分的基本性质(线性性质、对积分域的可加性，不等式性质和积分中值定理)，它们是一元函数定积分相应性质的推广。第二节二重积分的计算一、教学内容与重点二重积分在直角坐标系下与极坐标下的计算方法(重点)；二重积分的换元法。二、教学要求1．正确理解如何利用二重积分的几何意义将二重积分化为二次积分，熟练掌握根据积分域的不同将二重积分化为不同顺序二次积分的方法和步骤；(1)画出积分域；(2)选择适当的积分顺序；(3)正确确定积分的上、下限。在此基础上，会将一种积分顺序的二次积分化成另一种顺序的二次

6、积分。2．熟练掌握极坐标系下二重积分的计算方法，知道积分域和被积函数在什么情况下用极坐标计算比较方便。3．理解在曲线坐标系下二重积分的计算方法就是定积分换元法在二重积分中的推广，掌握使用该方法的主要步骤。第三节三重积分的计算一、教学内容与重点三重积分在直角坐标系下、柱面坐标系和球面坐标系下的计算方法(重点)；三重积分的换元法。二、教学要求1．正确掌握在直角坐标系下三重积分的计算方法化为单积分和二重积分，能根据积分域的不同选择不同的积分顺序(先单后重与先重后单)。2．熟悉柱面坐标和球面坐标以及它们和直角坐标的

7、关系，掌握在这两种坐标系下计算三重积分的方法，并能根据积分域的不同采用不同的坐标系进行计算。3．理解三重积分的换元法，会利用该方法计算简单的三重积分。第四节重积分的应用11一、教学内容与重点重积分的微法，微元法应用举例(重点)。二、教学要求1．理解重积分微元法是定积分微元法的推广，推广的方法是通过引入区域函数及其对区域的导数，变域上的重积分，将一元函数中微积分学基本定理推广到重积分，从而说明积分微元就是变域上的重积分(作为区域函数)的微分。2．掌握利用重积分微元法解决几何和物理问题的步骤，关键在于如何根据应

8、用问题求得积分微元，通常采用的方法是：在微小区域中将非均匀分布的量看成是均匀分布的，或者将微小区域看作一点，利用有关的几何公式或物理定律，通过乘法求得局部量的近似值，将微小区域看作一点，利用有关的几何公式或物理定律，通过乘法求得局部量的近似值，该近似值往往就是积分微元，同学们应当结合具体应用实例(液体压力、物体重心、转动惯量与引力等)理解并掌握这个方法。第五节含参变量的积分与反常重积分一、教学内容与重点含参变量的