第六章：多元函数积分学( 下)

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1、这里为半圆与轴围成的区域，其面积为．[例6.3.12]设函数在内有连续导数，计算其中是从点到点的直线段．分析：由于被积函数中含有抽象函数，用第一种方法无法求出，所以应选第二种方法．解：记，则，（）添加方程为的曲线弧，则为闭曲线（如图所示），于是．评注：此题添加的线段也可以选择平行于坐标轴的折线．三、平面上曲线积分与路径无关问题Ⅰ曲线积分是否与路径无关若，在区域内连续或有连续一阶偏导数，判断曲线积分在内是否与路径无关常有下列方法：法一：如存在内一条简单闭曲线，使，则曲线积分与路径有关；法二：如存在内存在一点，使得，则曲线积分与路径有关；法三：如是单连域，且在内恒有，则曲线积分与路径无关；法四

2、：如存在，使得在内恒有，则曲线积分与路径无关；法五：设存在单连域，使得且，而且存在内的一条包含352点的简单闭曲线，使，则曲线积分与路径无关．[例6.3.13]在下列区域上是否与路径无关？⑴；⑵．解：记，则，．⑴不是单连通区域，则不是在区域上与路径无关充分必要条件．事实上，若取曲线，逆时针方向，则因此在区域上不与路径无关；⑵是单连通区域，则是在区域上与路径无关充分必要条件．因此区域上是与路径无关．[例6.3.14]设（1）求，其中为以原点为圆心半径为2的圆周，取逆时针方向．（2）分别在与且时讨论积分是否与路径无关．解：（1）=352令方向逆时针．上式===（2）不难求得（且），并且在或且时

3、都连续．而是为单连通区域，所以曲线积分与路径无关；当且却不是单连通区域，故不一定与路径无关．又由（1）知，所以一定与路径有关．Ⅱ求解已知曲线积分与路径无关的问题此类问题一般是利用来完成任务的．[例6.3.15]确定的值，使曲线积分与路径无关，并求当分别为时，此曲线积分的值．解：由于与路径无关，所以从而，所以．因此所求曲线积分．352[例6.3.16]设在平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分与路径无关，并对任意恒有，求．解：由曲线积分与路径无关的条件得从而可得又由题设条件知=，可得，从而故．四、关于原函数的讨论Ⅰ原函数是否存在此类问题完全等价于曲线积分是否与路径无关．[例6.3.17]问在下列

4、区域上是否是某二元函数的全微分？⑴域⑵域解：记，．则⑴是单连通区域，且在内，有一阶连续偏导数，并且在内恒有，所以在域内是某二元函数的全微分；352⑵域不是单连域，令表示全平面，则是单连域，且．设，方向逆时针，则是内的包含原点的一条简单闭曲线，而且所以在域内是某二元函数的全微分．Ⅱ求的原函数[例6.3.18]选择，使是某一函数的全微分，并求．解：由于，在整个平面上都有连续一阶偏导数，所以它是某一函数全微分的充分必要条件为即，所以．[例6.3.19]确定常数，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求．解：由题设知，当时，，．又因为，显然当时，与都连续，由混合偏导数相等的充分条件可得352特

5、别令可得：，所以．从而．记，．则．五、曲线积分的应用[例6.3.20]求八分之一球面的边界曲线的质心，设曲线的线密度为．解：设边界曲线在坐标平面上的弧段分别为．记曲线的质心为，由计算公式知，，，其中，．由于，从而．同理．又因为在上恒有，所以，因此．故．由对称性知，即重心坐标为．[例6.3.21]质点沿着以为直径的半圆周（在线段的右下方），从点352运动到点的过程中受到变力的作用，的大小等于点与原点之间的距离，其方向垂直于，且与轴正向夹角小于，求变力对质点所作的功．解：变力沿曲线弧段从点到点所作的功为，其中此题关键是把变力的表达式写出．设点坐标为，则，所以与垂直的向量应为，由题设知，所以，又

6、与轴正向夹角小于，所以，因此．从而于是．六、曲线积分证明题[例6.3.22]设为上的连续函数．光滑曲线弧的长度为，证明，其中．证明：设光滑曲线弧上任一点处的单位切向量为，则，（其中）所以．[例6.3.23]设为正值连续函数，为取逆时针方向，证明352证明：根据格林公式又由于区域是关于直线对称的，所以利用对称性可得，从而有所以，故．[例6.3.24]设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有．证明：对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有．分析：利用曲线积分与路径无关的条件．解：等式两端对求导得　　　　　　　　　　　上式中令，则　.　　　　　　　　　　　　①设，则　　　，352则由①

7、可得　.故由曲线积分与路径无关的定理可知，对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有　　　　　　　　．七、其它[例6.3.25]设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数．（I）证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；（II）求函数的表达式．分析：证明（I）的关键是如何将封闭曲线与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将进行分解讨论；而（II）中求的