线性代数—特征值问题和特征向量

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1、矩阵的特征值和特征向量第四章1本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题。2第一节矩阵的特征值与特征向量定义一、特征值与特征向量的基本概念例如，3一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：说明1、特征值问题是针对方阵而言的；2、特征向量必须是非零向量；3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值☎4二、特征值与特征向量的求法记称为矩阵A的特征多项式，为矩阵A的特征方程。5的根，即为矩阵A的特征值。特征方程即齐次线性方程组的非零解。而矩阵A属于特征根的特征向量计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：6例1设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征

2、值为7相应齐次线性方程组的基础解系为8相应齐次线性方程组的基础解系为9相应齐次线性方程组的基础解系为10例2解所以A的特征值为设求A的特征值与特征向量。11相应齐次线性方程组的基础解系为12相应齐次线性方程组的基础解系为13对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为主对角元。14三、特征值与特征向量的性质性质1证(2)可推广到多个特征向量.15属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。性质2属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况.证(1)(2)推广16性质3证从而有相同的特征值.注意:17性质4证(2)重复这个过程,可得

3、18性质4证(3)19例3多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则有一个特征值7.例4证幂等矩阵20例3多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则有一个特征值7.例4幂等矩阵练习:21例5解由性质4,事实上，由可得22四、特征多项式的性质中出现,故有而常数项等于所以23比较系数得性质5推论方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零.24例6解25矩阵的迹的性质证略。作业：习题四，1⑵⑷、4、626ENDEND27