chapter1 绪论及复变函数

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1、数学物理方法李晓红西南科技大学理学院2021/6/10MathematicalphysicsMathsPhysics什么是数学物理学？ThecurvatureofspacetimearoundthesourceofthegravitationalforceMathematicalphysicsApplicationofmathematicstoproblemsinphysicsDevelopmentofmathematicalmethodssuitableforsuchapplicationsFor

2、mulationofphysicaltheories数学物理主要分支数学物理偏微分方程1750s~1930s力学热力学电磁学泛函分析原子物理量子力学群论拓扑相对论量子场论遍历论概率论统计物理绪论什么是数学物理方法？Methodsofmathematicalphysics物理问题数学问题？？解解的物理意义本课程主要内容数学物理方法复变函数数学物理方程复变函数微积分复变函数级数Laplace，Fourier变换三大方程建立及求解波动-双曲输运-抛物Laplace-椭圆二阶线性偏微分方程预备知识参考书目数

3、学物理方法，胡嗣柱、倪光炯（复旦大学）数学物理方法，梁昆淼（南京大学）数学物理方法，吴崇试（北京大学）BibliographyMethodsofModernMathematicalPhysics,MichaelReedandBarrySimonI:FunctionalAnalysis,Volume1II:FourierAnalysis,Self-Adjointness,Volume2…学习方法课程特点：难度大；内容繁杂学习建议：多总结，多练习，多应用课程考核平时出勤10%作业20%期末考试70%第一

4、篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数及运算第二节区域与边界第三节初等复变函数第四节复变函数的多值性第一节复数及运算复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x,yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1复数相等复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角复数不能比较大小主幅角P复数的三种表示代数表示：z=x+iy三角表示：z=r(cosθ+isinθ)指数表示：

5、z=rexp(iθ)注意在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2kπ零点与无穷远点(1)复数零的幅角无意义，模为0.(2)无穷远点的模为∞，幅角没有意义.无穷远点复球面复数的运算设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1z2=(x1x2)+i(y1y2)复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-z2)-z2乘法及乘方运算两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减根式运算对注意根式函数是多值函数共轭运算

6、复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点无穷远点实部、虚部、辐角无意义，模等于：它和有限复数的基本运算为：这些运算无意义：无穷远点运算课堂练习答案答案答案小结复数的基本概念复数的表示无穷远点复数的基本运算第二节区域与边界区域的概念邻域平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的-邻域

7、z-z0

8、<0<

9、z-z0

10、<z0z0开集设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的

11、内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。Gz0区域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1.D是开集；2.D是连通的。边界设D为复平面上的一个区域，如果点p不属于D，但是在p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用D来表示。边界有正负方向之分。闭区域区域D连同它的边界D一起构成闭区域，记为Dz1z2pxyORxyORxyROr1xyR-ROxOyxOyθ2θ1单连通域与多连通域设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条

12、简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。BB单连通域多连通域举例用复数表示的平面点集小结领域，开集，区域，边界，闭区域单连通域与多连通域第三节初等复变函数复变函数之定义设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数=u+iv与之对应，那么称复变数是复变数z的函数，或复变函数，记为=f(z)。说明1如果z的一个值对应着的唯一一个值，那