大学复变函数课件-留数理论及应用.doc

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1、第六章留数理论及应用第一节留数1、留数定理：设函数f(z)在点解析。作圆，使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分等于零。设函数f(z)在区域内解析。选取r，使0

2、数。注解3、如果是f(z)的可去奇点，那么定理1.1（留数定理）设D是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C。设f(z)在D内除去有孤立奇点外，在每一点都解析，并且它在C上每一点都解析，那么我们有：这里沿C的积分按关于区域D的正向取。证明：以D内每一个孤立奇点为心，作圆，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中除去以这些为边界的闭圆盘的一个区域G，其边界是C以及，在G及其边界所组成的闭区域上，f(z)解析。因此根据柯西定理，这里沿C的积分按关于区域D的正向取的，沿的积分按反时针方向取的。根据留数的定义，得定理

3、的结论成立。2、留数的计算：本节讲述几种常见的情形下，如何计算留数。首先考虑一阶极点的情形。设是f(z)的一个一阶极点。因此在去掉中心的某一圆盘内（），其中在这个圆盘内包括解析，其泰勒级数展式是：而且。显然，在f(z)的洛朗级数中，的系数等于，因此如果容易求出的泰勒级数展式，那么由此可得；否则要采用其他方法求留数。如果在上述去掉中心的圆盘内（），其中P(z)及Q(z)在这圆盘内包括在解析，，是Q(z)的一阶零点，并且Q(z)在这圆盘内没有其他零点，那么是f(z)的一阶极点，因而例6.1.1、函数有两个一阶极点，这时因此其次，我们考虑高阶极点的情形。设是f(z)的一个k阶极

4、点(k>1)。这就是说，在去掉中心的某一圆盘内（），其中在这个圆盘内包括解析，而且。在这个圆盘内，泰勒级数展式是：由此可见，因此问题转化为求泰勒级数展式的系数。如果容易求出的泰勒级数展式，那么由此可得；否则要采用其他方法求留数。显然，因此，我们也可根据下列公式计算：例6.1.2、函数在z=0有三阶极点，则因此由上述公式也可得：例6.1.3、函数在z=i有二阶极点。这时令z=i+t，那么在的泰勒展式中，t的系数就是f(z)在i的留数。写出h(t)中每个因子的到t的一次项，我们有：当

5、t

6、<1时因此当

7、t

8、<1时，于是由上述公式也可得：第二节留数定理的应用积分的计算：在数学分

9、析中以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂。利用留数计算积分的特点：（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。例6.2.1、计算积分其中常数a>1。解：令，

10、那么。而且当t从0增加到时，z按逆时针方向绕圆C:

11、z

12、=1一周。因此于是应用留数定理，只需计算在

13、z

14、<1内极点处的留数，就可求出I。上面的被积函数有两个极点：及。显然。因此被积函数在

15、z

16、<1内只有一个极点，而它在这点的留数是：于是求得注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如的积分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圆C:

17、z

18、=1上，分母不等于零。例6.2.1、计算积分解：首先，这是一个广义积分，它显然是收敛的。我们应用留数定理来计算它。考虑函数，这个函数有两个二阶极点，在上半平面上的一个是z=i。作以O为心、r为半径的圆盘。考虑这一圆盘在上半平面的部分，设其边

19、界为。取r>1，那么z=i包含在的内区域内。沿取的积分，则有其中表示上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。现在估计积分。我们有因此令，就得到从而注解1、我们计算所得的值是这个广义积分的柯西主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主值。注解2、应用同样的方法，我们可以计算一般形如的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次。引理设f(z)是闭区域上连续的复变函数，并且设是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段。如果当z在这闭区域上时，那么我们有证明：设M(r)是f(z)在上