复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结.doc

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1、第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1柯西留数定理）：2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，其中在点a解析，，则3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，则4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点则5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。8.计算留数的另一

2、公式：§2.用留数定理计算实积分一.→引入注：注意偶函数二.型积分1.（引理6.1大弧引理）：上则2.（定理6.7）设为互质多项式，且符合条件：（1）n-m≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有注：可记为三.型积分3.（引理6.2若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周上连续，且在上一致成立。则4.（定理6.8）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高；（2）Q无实数解；（3）m>0则有特别的，上式可拆分成：及四.计算积分路径上有奇点的积分5.（引理6.3小弧引理）：于上一致成立，则有五.杂例六.应用多值函数的积分§3.辐角原理及其应用即为：

3、求解析函数零点个数1.对数留数：2.（引理6.4）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且（2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且3.（定理6.9对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件：（1）f(z)在C的内部是亚纯的；（2）f(z)在C上解析且不为零。则有注1：当条件更改为：（1）f在Int(C)+C上解析；（2）C上有f≠0，有，即注2：条件可减弱为：f(z)连续到边界C，且沿C有f(z)≠04.（辅角原理）：5.（定理6.10鲁歇（Rouche）定理）：设C是一条周线，函数f(z)及(z)满足条件：（1）它们在C

4、的内部均解析，且连续到C；（2）在C上，

5、f(z)

6、>

7、(z)

8、则函数f(z)与f(z)+(z)在C内部有同样多（几阶算几个）的零点，即N(,C)=N(f,C)6.(定理6.11)：若函数f(z)在区域D内但也解析，则在D内f’(z)≠0.