平面向量投影的运用

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1、巧用投影出奇制胜————向量数量积几何意义的运用江西省崇义中学胡述洪(341300)向量数量积的几何意义：数量积a×b等于a的模与b在a方向上投影

2、b

3、的乘积。向量“投影”的概念：

4、b

5、叫做向量b在a方向上的投影.投影是一个数量，不是向量：⑴当为锐角时投影为正值；⑵当为钝角时投影为负值；⑶当为直角时投影为0；⑷当=0°时投影为

6、b

7、；⑸当=180°时投影为-

8、b

9、。向量的“投影”是高中数学学习中容易忽视的一个内容，多数同学只是在空间向量求距离时，证明点到直线的距离公式才“一睹芳容”，后面又消失得无影

10、无踪。实际上，向量“投影”具有独特的魅力，下面我们通过例题来体会向量“投影”的神奇。例一．中，，，是边上的高，求。【分析】本题若用普通方法求出、的模及夹角，再求数量积，运算量较大，也容易出错。如果向量数量积的几何意义，巧用向量“投影”就能快速求解。解：易求=2，由向量数量积的几何意义知：等于在上的投影与的乘积。在上的投影就是=2=4【小结】投影的形式有两种，注意合理选择。本题如选择在上的投影进行计算则显然复杂。3例二．等腰三角形中，，，是的中点，点在的内部或边界上运动，求的范围。【分析】本题的常规方

11、法是建立平面直角坐标系，设，建立线性约束条件及线性目标函数，利用线性规划的知识求解。思路跳跃性较大，不易掌握。下面用向量“投影”巧妙求解。解：是确定的，只需求出在上的投影的范围。由向量“投影”的意义知：当点与点重合时，，（）=0当点与点重合时，在上的投影就是，注意到此时与的夹角为钝角,（）=综上，【小结】运用投影解题，要注意：1、数形结合。要结合图形寻找向量之间的关系，确定向量的投影。2、投影有正负，要根据向量的夹角正确选定符号，避免出错。例三．平行四边形中,⊥,垂足为且=3,则=__(2012年湖

12、南卷（文科）15)【分析】本题若试图通过用数量积的定义直接求解是徒劳的，因为的模及〈，〉都求不出。注意到⊥，所以可以考虑将分解成，再转化成、在上的投影进行计算。3解：==()=+⊥在上的投影就是==9.同理==9故=18【小结】当题目条件中出现垂直的直线时，我们可以考虑通过转化，利用投影解题，往往能起到事半功倍的效果。在空间向量证明点到直线的距离公式，也是用到这种方法。通过以上例题，我们加深了对向量“投影”的理解，在涉及向量数量积的运算时，只要充分理解向量数量积的几何意义，巧妙运用向量“投影”，就能

13、出奇制胜，快速解题。3