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时间:2018-07-29
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1、初中数学开放性题目初探 一、数学开放题的定义 数学开放题是相对于传统的封闭题而言的,数学中的封闭性问题一般是指问题的条件和结论都是完全确定的,而且是不多不少的.而数学开放题是指那些答案不唯一确定,并且要求学生多角度、多方面进行探索的一类数学问题. 二、开放性题目的特征 与常规题相比,开放性题目的条件或结论是往往是不确定的、不唯一的,它给学生留有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间.它的主要特征如下。 (1)不完备性:一个开放题的条件可以是不足的,也可以是多余的.条件不足时需要学生进行补充,条件多余时需要学生从中选出有用的条件. (2
2、)非常规性:解开放题时,往往没有一种特定的解题模式,在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索. (3)创新性:有时一个题目需要采用一种新的解题方法或开拓一个新的研究领域. (4)发散性:在求解过程中往往可以引出新的问题,或将问题加以推广,找出更一般、更有概括性的结论. (5)能激起多数学生的好奇心,全体学生都可以参与解答过程,不管他属于何种程度和水平. (6)教师难以用注入式进行教学,学生能自然地主动参与,教师在解题过程中扮演的角色是示范者、启发者、鼓励者和指导者. 三、数学开放性题目的主要类型 (一)探索发现型 1.规律性探索
3、 请将你找出的规律用公式表示出来?摇?摇?摇?摇?摇?摇. 探索规律的题目是近几年常见的一种开放性题目,主要考查学生运算、观察、发现规律的能力.解决这类问题的方法是:先从简单的式子入手,观察数字(或等式、不等式两边的数据)随着“序号”、项数的增加而变化的情况,找出异同,分析、发现、探索变化的规律,得出一般性结论. 2.条件开放题 条件开放题是指问题的条件具有不确定性,满足结论的条件不唯一.在此基础上,我们又可以把条件开放题分为条件不足型和条件多余型. ①条件不足型 所谓条件不足型是指问题条件不足,满足结论的条件不唯一,需要从多方面考虑
4、才能正确解决这类问题. 例2:已知二次函数的y=ax+bx+c图像经过A?v0,a?w,B?v1,-2?w?摇?摇?摇?摇,求证:这个二次函数图像的对称轴是直线x=2.题目中的矩形框内的部分是一段被墨水染污了无法辨认的文字. 1.根据现有的信息,你能否求出题目中二次函数的解析式?若能,写出求解过程;若不能,说明理由. 2.请你根据已有的信息,在原题中的矩形框内填加一个适当的条件,把原题补充完整. (2)可供补充的内容有:①满足函数解析式的任意一点的坐标;②a=1或b=-4或c=1;③顶点坐标为(2,-3). ②条件多余型 所谓条件多余
5、型开放题是指问题中条件过剩,许多有用和无用的条件都混杂在一起,对学生解题形成干扰. 例3:在△ABC与△A′B′C′中,有下列条件:;③∠A=∠A′;④∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有()组. A.1B.2C.3D.4 分析:有3组:①和②;③和④;②和④. 3.结论开放题 结论开放题是指在给定条件下,结论不唯一,学生可以根据条件或情景将所有可能的结果一一分析得出. 例4:一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和5
6、0cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,有几种不同的截法? 分析:根据“三角形任意两边之和大于第三边”,只能用50cm截成两段,设截得的两段分别为xcm和ycm,则有以下三种情况: 解得: x=10,y=25 4.存在性探索 例5:如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求
7、t的值;若不存在,请说明理由. 分析:设存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似. 依题意得:AM=tcm,DN=2tcm,AN=(6-2t)cm. 解存在型探索题的基本思路通常是先假设存在,然后根据存在进行推理或计算,找出必须满足的条件,再看这个条件题目中是否已具备,若已具备则存在,反之不存在. (二)阅读理解型 例6:阅读题例,解答下题. 这个例题属于阅读理解型开放题,解决这类问题需要学生具有一定的阅读理解、接受新知识、认识新事物的能力,以及运用新知识解决实际问题的能力,解题的关键是仔细读懂题意,通过阅读探索解决问题
8、的方法. (三)规划决策、设计方案型 例7:某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划利用这两种原料生产A、B两种产品,
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