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1、微分中值定理的证明及应用黄敏（井冈山大学数理学院,江西吉安343009）指导老师：颜昌元[摘要]本文从不同的方面对此定理加以证明,使得抽象的定理灵活化,从而更易理解,并在此基础上去解决关于“微分中值定理”的应用的问题.[关键词]辅助函数中值定理介值定理引言微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它也是微分学的理论核心.又因为导数的许多重要应用都是建立在中值定理基础上的，所以微分中值定理是微分学应用的理论基础.微分中值定理通常指:罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.在常见教材中,以罗尔中值定理为基础,通过构造辅助函数来实现后两个定理的证明.证明的关
2、键是做出辅助函数.现行教材中传统形式的辅助函数,表达式冗长.以下通过:1、分析推理法2、“K”值法3、积分法三种方法构造出形式简单的辅助函数,而且构造的过程是水到渠成,自然而有逻辑.并提出一种新颖地“逆序统一证明”法证明这三个定理.最后通过一类证明题和一些巧用来说明“微分中值定理”的应用.1微分中值定理的证明定理1罗尔（Rolle）中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即，那么在内至少存在一点,使得成立.定理2拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内内可导，那么在内至少存在一点,使得成立
3、.定理3柯西(Cauchy)中值定理如果函数与在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内每一点均不为零，那么在内至少存在一点，使得10成立.1.1证明中建立辅助函数的方法这类微分中值定理证明的方法,一般是在罗尔定理的基础上引出辅助函数来完成.因此根据问题分析并构造出一个简单易懂的辅助函数,是解决问题的关键.1.1.1分析推理法分析一下定理3,定理3的结论是:至少存在一点,使得即,即,因为,所以只要（*）由（*）式可以试着构造函数只要它满足罗尔中值定理的条件，便知存在一点，使得.即（*）式成立,定理3便可得证.不难验证,确实满足罗尔中值定理的条件,因此在证明
4、定理3时,辅助函数设为即可,同理,由定理2与定理3的关系易知,在证明定理2时,可令辅助函数这种方法主要是针对现行教材中传统形式的辅助函数的表达式冗长,而通过分析推理,遵循严密的逻辑关系,构造出形式简单的辅助函数,从而解决定理的证明.1.1.2“K”值法拉格朗日中值定理中,令,则有,即有,不难发现,在上均满足罗尔中值定理的条件,10其中,因此可以作为所需要的辅助函数.而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,因此,只需将上述方法推而广之,即可证得柯西中值定理.令,由已知,对中任意，,可推得（根据罗尔中值定理可证得）.此时有即不难发现,可以取作为辅助函数,它
5、在上均满足罗尔中值定理的条件,故有,又,所以即此方法构造辅助函数的过程相当巧妙，而且所得辅助函数简单明朗，但逻辑关系并非十分严密，带有一定的偶然性，不易理解,没有上种“分析推理法”逻辑性强.1.1.1积分法定理2拉格朗日中值定理的证明把需证之式变为对应改写成（把换成）,证明上述方程在内存在根，将上式左边对积分，有故取.则在上连续，在内可导，且由罗尔中值定理知，至少存在一点，使,即.10同理，可以知道定理3柯西中值定理的证明.把需证之式变成对应改写成（把换成）证明上述方程在内存在根，将上式左边对积分，有故取则在上连续，在内可导，且由罗尔定理知，至少存在一
6、点，使得即.通过以上证明可知,“积分法”的关键步骤也是构造辅助函数，其基础方法是：（1）将需证之式整理，使等式右边为0，左边的改写成；（2）对等式左边关于积分；（3）对应积分值写出，这种方法最大的优点在于其规律性，不需要过多的考虑步骤,而只需根据规律就可步步得出证明.易掌握和运用.1.1逆序统一证明法这种方法颠覆了传统的证明顺序.按Cauchy中值定理、Lagrange中值定理、Rolle中值定理的顺序给出证明。10先证Cauchy中值定理证令,则满足：（1）在上连续;(2)在内可导;(3)若（常数）,取内任一点为都有，即10若存在某个属于，,因为在上
7、连续,所以必在某点在处取得最大值或最小值，则亦称为极值点，又在可导,所以.即20Lagrange中值定理的证明证只要令定理中的，立即有本定理的结论.30Rolle中值定理证明证把该定理中的条件用于Lagrange中值定理的结论即证.从上述整个证明过程不难看出,实际上只对定理1给出了详细的证明,且难易程度与繁简程度不大,而后两个定理是立即得到的推论,与上述构造辅助函数相比,而有更简捷、更新颖、更快捷的具大优势.1微分中值定理的应用要熟练的应用中值定理确实是一件不易的事，尤其是辅助函数的引入，更是变化多样.下面给出微分中值定理在数学分析的一些证明题中的巧用
8、.1.1插入一个分点使满足中值定理的条件.分点c的选取,要根据具体情况而定,有时需要结合闭区间
