平面几何竞赛之三角形的“五心”[1]

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1、平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：I到三角形三边的距离相等.证明：性质2：设I是⊿ABC内一点，AI所在直线交⊿ABC的外接圆于D，I为⊿ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC.证明：性质3：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：∠BIC=900+∠A，∠AIC=90

2、0+∠B，∠AIB=900+∠C.证明：15性质4：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：⊿IBC、⊿IAC、⊿IAB的外心均在⊿ABC的外接圆上.证明：性质5：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB边上的射影分别为D、E、F，内切圆的半径为r，令p=(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r，S⊿ABC=pr==；海伦公式推导：(2)r=；15(3)abc·r=p·AI·BI·CI.性质6：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于

3、K，交⊿ABC的外接圆于D，则===.〖例1〗如图，设⊿ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=600，∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E，证明：(1)IO=AE,(2)2R

4、为是的内心，所以，．所以，．所以，于是．因为，所以．又因为，所以，所以．所以，即是、的比例中项．点评：本题用三角形内心的性质先证明，再证明．已知三角形的内心，通常连接内心和顶点，得角相等．本题很明显，这个命题的逆命题也成立．【练习2】⑴如图，在中，、，的平分线分别交外接圆于点、、．证明：．⑵如图，设为的内心，且、、分别为、、的外心，证明：与有相同的外心．⑶已知是的内心，、、的延长线分别交的外接圆于、、．求证：．15　⑷已知一等腰三角形的外接圆半径为，内切圆半径为，证明：两圆心的距离为．【解析】⑴连接、、、、、

5、．因为，，，所以、、相交于一点，即为的内心，则，，．在中，因为，所以．同理可证，．将这三个式子相加并整理，得…①因为，，，所以…②⑵作的外接圆，延长交圆心于，连接、．因为是的内心，所以．从而为的外心．又因为为外心，所以与两点重合，即点在的外接圆上．同理可证点、也都在的外接圆上．所以、、、、、六点共圆，因此，与有相同的外心．⑶连接．∵是的内心∴，，∴∴⑷如图，设，为的外接圆圆心，为的内切圆圆心(即为的内心)，连接并延长，交圆于，则易知是圆的直径．设与圆相切于，连接、，则，所以，从而15，于是，由此，得．因为，，

6、所以，整理，得．点评：本题根据轴对称构造直径，使问题简化．本题的结论对任意三角形（不一定是等腰三角形）也成立，这就是著名的欧拉公式．【练习3】如图，的三边满足关系，、分别为的外心，内心，的外角平分线交圆于，的延长线交圆于，交于．求证：⑴；⑵．【解析】⑴作，连接，有．因为，所以．由为的内心，，且为圆的直径，得，．所以．易证：．故⑵因为．由中位线定理，得．点评：首先必须掌握三角形内心的性质，即内心是角平分线的交点，它到三边的距离都相等，所以通常作边的垂线；其次要掌握．【练习3】设的内切圆切于点，过点作直径，连接，

7、并延长交于点，则．15【解析】解法1：如图，令圆分别切、于点、．过点作，分别交、于点、，则切圆于点，且，．记与的周长分别为、，则．于是即有，故．解法2：设，，，则，∴下面仅需证明．为此，作交的延长线于，于，即仅需证明是旁切圆在内的旁心．事实上，由（是边与圆的切点）但，可知，即确是旁心，∴，即．2、外心：经过三角形各顶点的圆叫做此三角形的外接圆，其圆心叫做此三角形的外心.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部.外心有以下常用的

8、性质：15性质1：⊿ABC所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.性质2：设O是⊿ABC所在平面内一点，则O为⊿ABC的外心的充要条件是：(1)∠BOC=2∠A，∠ACC=2∠B，∠AOB=2∠C.(2)OB=OC,且∠BOC=2∠A.性质3：R=或S⊿ABC=.〖例3〗如图，设AD是⊿ABC的∠BAC的平分线，O是⊿ABC的外心，01是⊿ABD的外接圆的圆心，02是⊿AD