苏科版八年级数学上《第2章轴对称图形》单元测试(2)含答案解析初二数学试题

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《第2章轴对称图形》　一、选择题1．2008年北京车展上，我国自主品牌的轿车不论在设计上还是在性能上，都引起了外国许多专家的赞叹，下面是我国自主品牌的轿车的车标，其中是轴对称图形的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，该图案对称轴的条数是（　　）A．4条B．3条C．2条D．1条3．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（　　）A．∠CAD＜∠CBDB．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＞∠CBDD．无法判断4．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（　　）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．含30°角的直角三角形5．有两个角相等的梯形是（　　）A．等腰梯形B．直角梯形C．一般梯形D．直角梯形和等腰梯形6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为（　　） A．3B．3.5C．4D．4.57．若△ABC的边长为a、b、c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是（　　）A．等腰三角形B．等边三角形C．任意三角形D．不能确定8．如图，在等边△ABC中，BD、CE是两条中线，则∠1的度数为（　　）A．90°B．30°C．120°D．150°9．A，B是平面内的两个定点，在平面内找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，这样的C点可找（　　）A．2个B．4个C．6个D．8个10．如图，D、E是等边△ABC的边BC上的三等分点，O为△ABC内一点，且△ODE为等边三角形，则图中等腰三角形的个数是（　　）A．4个B．5个C．6个D．7个　二、填空题11．线段AB关于直线MN对称，则　　垂直平分　　．12．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=　　．13．如图，点Q在∠AOB的平分线上，QA⊥OA，QB⊥OB，A、B分别为垂足，则AQ=　　．14．等腰三角形的周长为18cm，其中一边为8cm，则另两边的长分别为　　． 15．如图，在△ABC中，∠ACB=130°，AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，则∠MCN=　　．16．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，则△POA的面积等于　　cm2．17．给出一个梯形ABCD，AD∥BC，下面四个论断：①∠A=∠D；②AB=CD；③∠B=∠C；④AC=BD．其中能判断梯形ABCD为等腰梯形的是　　（填序号）．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BC=AC，∠ACD=30°，则∠D=　　．　三、解答题19．如图，在正方形网格内有∠AOB，请你利用网格画出∠AOB的平分线，并说明理由．20．如图，△ABC绕点A旋转到AB′C′，BC与B′C′交于P，试说明AP平分∠BPC′．21．如图，已知AB=AC，BD=DC，AD的延长线交BC于点E． （1）试说明BE=EC；（2）试说明AD⊥BC．22．如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．23．如图，在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD=BE=CF．（1）试说明△DEF是等边三角形；（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则△PQR为何种三角形？试说明理由．24．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥DC于点F，BG⊥CD于点G，试说明PE+PF=BG．　 《第2章轴对称图形》参考答案与试题解析　一、选择题1．2008年北京车展上，我国自主品牌的轿车不论在设计上还是在性能上，都引起了外国许多专家的赞叹，下面是我国自主品牌的轿车的车标，其中是轴对称图形的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】轴对称图形．【分析】结合车标图案，根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形，不是轴对称图形，故选项错误；第二个图形，是轴对称图形，故选项正确；第三个图形，不是轴对称图形，故选项错误；第四个图形，不是轴对称图形，故选项错误；第五个图形，是轴对称图形，故选项正确．故选B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：熟记轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合是解题的关键．　2．如图，该图案对称轴的条数是（　　）A．4条B．3条C．2条D．1条【考点】轴对称图形．【分析】根据该图形的特点结合轴对称图形的定义得出即可．【解答】解：该图案对称轴的条数是2条．故选C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．　3．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（　　）A．∠CAD＜∠CBDB．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＞∠CBDD．无法判断【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】首先根据题意画出图形，然后由MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，根据线段垂直平分线的性质可得：AC=BC，AD=BD，则可证得∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，继而求得答案．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，∴AC=BC，AD=BD，∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，如图1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA，∴∠CAD=∠CBD；如图2，∠CAD=∠CAB﹣∠DAB，∠CBD=∠CBA﹣∠DBA，∴∠CAD=∠CBD．故选B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　4．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（　　）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．含30°角的直角三角形【考点】生活中的轴对称现象． 【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．故选A．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定方法，是需要熟记的内容．　5．有两个角相等的梯形是（　　）A．等腰梯形B．直角梯形C．一般梯形D．直角梯形和等腰梯形【考点】梯形．【分析】由直角梯形中有两个直角，等腰梯形同一底上的两个角相等，即可求得答案．【解答】解：∵直角梯形中有两个直角，等腰梯形同一底上的两个角相等，∴有两个角相等的梯形是直角梯形和等腰梯形．故选D．【点评】此题考查了直角梯形与等腰梯形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意直角梯形中有两个直角，等腰梯形同一底上的两个角相等．　6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为（　　）A．3B．3.5C．4D．4.5【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【分析】由题意推出BD=AD，然后，在Rt△BCD中，CP=BD，即可推出CP的长度．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=30°，∴BD=AD， ∵AD=6，∴BD=6，∵P点是BD的中点，∴CP=BD=3．故选A．【点评】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、折角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD=AD，求出BD的长度．　7．若△ABC的边长为a、b、c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是（　　）A．等腰三角形B．等边三角形C．任意三角形D．不能确定【考点】因式分解的应用．【分析】利用完全平方公式进行局部因式分解，再根据非负数的性质进行分析．【解答】解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形．故选B．【点评】此题考查了完全平方公式的运用和非负数的性质，即几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0．　8．如图，在等边△ABC中，BD、CE是两条中线，则∠1的度数为（　　）A．90°B．30°C．120°D．150°【考点】等边三角形的性质．【分析】先根据在等边△ABC中，BD、CE是两条中线得出∠AEC与∠ADB的度数，再根据四边形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD、CE是两条中线，∴∠AEC=∠ADB=90°，∠A=60°，∴∠1=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°．故选C．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．　9．A，B是平面内的两个定点，在平面内找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，这样的C点可找（　　）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】等腰直角三角形．【分析】分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作AB的垂线，以A为圆心，AB长为半径画弧，与垂线交于C3、C4两点；当B为直角顶点时，过B作AB的垂线，以B为圆心，BA长为半径画弧，与垂线交于C5、C6；当C为直角顶点时，以上两种情况的交点即为C1、C2，综上，得到所有满足题意的点C的个数．【解答】解：A，B是平面内的两个定点，在平面内找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，如图所示：则这样的C点有6个，故选C．【点评】此题考查了等腰直角三角形，利用了分类的思想，根据等腰直角三角形的性质找全满足题意的C点是本题的关键．　 10．如图，D、E是等边△ABC的边BC上的三等分点，O为△ABC内一点，且△ODE为等边三角形，则图中等腰三角形的个数是（　　）A．4个B．5个C．6个D．7个【考点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质．【分析】根据等腰三角形判定和等边三角形性质得出△ODE、△ABC，求出∠ODE=∠OED=60°，OE=EC，OD=OB，求出∠OBC=∠OCB=30°，求出∠OBA=∠OCB=30°，即可得出、△OEC、△OBC、△AOB、△AOC也是等腰三角形．【解答】解：等腰三角形有△ODE、△ABC、△ODB、△OEC、△OBC、△AOB、△AOC，共7个，故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质的应用，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，有两角相等的三角形是等腰三角形．　二、填空题11．线段AB关于直线MN对称，则　MN　垂直平分　AB　．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据对称轴垂直平分对应点的连线可知：线段AB关于直线MN对称，则MN垂直平分AB．【解答】解：线段AB关于直线MN对称，则MN垂直平分AB．故填MN，AB．【点评】主要考查了轴对称的性质．对称轴垂直平分对应点的连线．　12．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=　65°　．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=50°，∴∠B=（180°﹣50°）÷2=65°． 故答案为：65°．【点评】本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．　13．如图，点Q在∠AOB的平分线上，QA⊥OA，QB⊥OB，A、B分别为垂足，则AQ=　BQ　．【考点】角平分线的性质．【分析】由角平分线的性质可得AQ=BQ．【解答】解：∵OQ平分∠AOB，且QA⊥OA，QB⊥OB，∴AQ=BQ，故答案为：BQ．【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．　14．等腰三角形的周长为18cm，其中一边为8cm，则另两边的长分别为　2cm、8cm或5cm、5cm　．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分8cm是腰长与底边长两种情况讨论求解．【解答】解：①8cm是腰长时，18﹣8×2=2cm，所以，其余两边长为2cm、8cm，②8cm是底边时，（18﹣8）=5cm，所以，其余两边长为5cm、5cm，故答案为：2cm、8cm或5cm、5cm．【点评】本题主要考查了等腰三角形两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．　 15．如图，在△ABC中，∠ACB=130°，AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，则∠MCN=　80°　．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】首先由在△ABC中，∠ACB=130°，可求得∠A+∠B的度数，然后由AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=CM，BN=CN，即可得∠ACM=∠A，∠BCN=∠B，继而求得∠ACM+∠BCN的度数，则可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=130°，∴∠A+∠B=50°，∵AC、BC的垂直平分线分别交AB于点M、N，∴AM=CM，BN=CN，∴∠ACM=∠A，∠BCN=∠B，∴∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=50°，∴∠CMN=∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）=80°．故答案为：80°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意求得∠ACM+∠BCN=∠A+∠B是关键．　16．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，则△POA的面积等于　12　cm2．【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PD⊥OA于点D，根据角平分线的性质求出PD的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点P作PD⊥OA于点D，∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB=3cm，∴PD=PB=3cm， ∵OA=8cm，∴S△POA=OA•PD=×8×3=12cm2．故答案为：12．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．　17．给出一个梯形ABCD，AD∥BC，下面四个论断：①∠A=∠D；②AB=CD；③∠B=∠C；④AC=BD．其中能判断梯形ABCD为等腰梯形的是　①②③④　（填序号）．【考点】等腰梯形的判定．【分析】由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形得出①③能判定梯形ABCD为等腰梯形；由两腰相等的梯形是等腰梯形得出②能判定梯形ABCD为等腰梯形；由两条对角线相等的梯形是等腰梯形得出④能判定梯形ABCD为等腰梯形；即可得出结果．【解答】解：①能判定；理由如下：在梯形ABCD，AD∥BC，∵∠A=∠D，∴四边形ABCD是等腰梯形（同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形），∴①能判定；同理：③能判定；②能判定；理由如下：在梯形ABCD，AD∥BC，∵AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形），∴②能判定；④能判定；理由如下：在梯形ABCD，AD∥BC，∵AC=BD，∴四边形ABCD是等腰梯形（两条对角线相等的梯形是等腰梯形），∴④能判定； 故答案为：①②③④．【点评】本题考查了等腰梯形的判定方法；熟练掌握等腰梯形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．　18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BC=AC，∠ACD=30°，则∠D=　110°　．【考点】等腰梯形的性质．【分析】由等腰梯形的性质得出∠B=∠BCD，设∠ACB=x，则∠B=∠BCD=x+30°，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠BAC=∠B=x+30°，∠DAC=∠ACB=x，∠B+∠BAD=180°，得出方程，解方程求出∠BCD，即可得出∠D的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，∴∠B=∠BCD，设∠ACB=x，则∠B=∠BCD=x+30°，∵BC=AC，∴∠BAC=∠B=x+30°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=x，∠B+∠BAD=180°，即x+30+x+30+x=180°，解得：x=40°，∴∠D=180°﹣∠BCD=180°﹣70°=110°．故答案为：110°．【点评】本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握等腰梯形和等腰三角形的性质，由角的关系得出方程是解决问题的关键．　三、解答题19．如图，在正方形网格内有∠AOB，请你利用网格画出∠AOB的平分线，并说明理由． 【考点】作图—复杂作图．【分析】利用边边边构造全等三角形，可得对应角相等，从而画出∠AOB的平分线．【解答】解：如图所示：OC即为所求∠AOB的平分线．【点评】考查角平分线上一点的确定；构造三角形全等或确定等腰三角形底边中点是解决本题的主要方法．　20．如图，△ABC绕点A旋转到AB′C′，BC与B′C′交于P，试说明AP平分∠BPC′．【考点】旋转的性质．【专题】证明题．【分析】作AD⊥BC于D，AD′⊥B′C′于D′，如图，先根据旋转的性质得到△ABC≌△A′B′C′，则根据全等三角形的性质得到AD=AD′，然后根据角平分线的性质即可得到AP平分∠BPC′．【解答】证明：作AD⊥BC于D，AD′⊥B′C′于D′，如图，∵△ABC绕点A旋转到AB′C′，∴△ABC≌△A′B′C′，∴AD=AD′， ∴AP平分∠BPC′．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了角平分线的性质．　21．如图，已知AB=AC，BD=DC，AD的延长线交BC于点E．（1）试说明BE=EC；（2）试说明AD⊥BC．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据SSS证明△ABD与△ACD全等，再利用等腰三角形的性质证明即可；（2）根据等腰三角形的性质证明即可．【解答】证明：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD，∴△ABC是等腰三角形，∴BE=EC；（2）∵△ABC是等腰三角形，BE=EC，∴AD⊥BC．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质解答，关键是根据SSS证明△ABD与△ACD全等．　 22．如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．【考点】等腰梯形的性质．【分析】由AB=AD=CD，可知∠ABD=∠ADB，又AD∥BC，可推得BD为∠B的平分线，而由题可知梯形ABCD为等腰梯形，则∠B=∠C，那么在RT△BDC中，∠C+∠C=90°，可求得∠C=60°．【解答】解：∵AB=AD=CD∴∠ABD=∠ADB∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∴∠ABD=∠DBC∴BD为∠B的平分线∵AD∥BC，AB=AD=CD∴梯形ABCD为等腰梯形∴∠B=∠C∵BD⊥CD∴∠C+∠C=90°∴∠C=60°【点评】先根据已知条件可知四边形为等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质和已知条件求解．　23．如图，在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD=BE=CF．（1）试说明△DEF是等边三角形；（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则△PQR为何种三角形？试说明理由．【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，AD=BE=CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF=DE，同理可得DF=EF，即可证得：△DEF是等边三角形；（2）由（1）证得△ADF≌△BED，得到BD=AF，通过△ABF≌△CBD，得到∠ABF=∠BCD，求得∠RPQ=∠FBC+∠BCD=60°，同理∠PQR=∠PRQ=60°，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵AD=BE=CF，∴AF=BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF=DE，同理DE=EF，∴DE=DF=EF．∴△DEF是等边三角形；（2）△PQR是等边三角形，理由：由（1）证得△ADF≌△BED，∴BD=AF，在△ABF与△CBD中，，∴△ABF≌△CBD，∴∠ABF=∠BCD，∵∠ABF+∠CBF=60°，∴∠CBF+∠BCF=60°，∵∠RPQ=∠FBC+∠BCD=60°，同理∠PQR=∠PRQ=60°，∴△PQR是等边三角形． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．　24．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥DC于点F，BG⊥CD于点G，试说明PE+PF=BG．【考点】等腰梯形的性质．【专题】证明题．【分析】过P作PH⊥BG，把BG分成两段，根据矩形得到PF=HG，再证明△BPH和△PBE全等得到PE=BH，继而可得出结论．【解答】证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，∴四边形PHGF是矩形，∴PF=HG，PH∥CD，∴∠BPH=∠C，在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，∴∠PBE=∠BPH，又∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，在△PBE和△BPH中∴△PBE≌△BPH（AAS）， ∴PE=BH，∴PE+PF=BH+HG=BG．【点评】本题考查了等腰梯形的性质，利用“截长补短法”的截长，即把较长的线段截为两段，再分别证明线段相等，从而问题得以解决．