苏科版八年级数学上《第2章轴对称图形》单元测试含答案解析初二数学试题

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《第2章轴对称图形》　一、填空题1．角有　　条对称轴，其对称轴是　　．2．已知等腰三角形的一边等于4cm，一边等于9cm，那么它的周长等于　　cm；若等腰三角形的一个角为70°，则它的另两个角是　　．3．如图，在△ABC中，AB=AC=30cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．（1）若∠C=70°，则∠BEC=　　；（2）若BC=20cm，则△BCE的周长是　　cm．4．如图，在∠MON的两边上顺次取点，使DE=CD=BC=AB=OA，若∠MON=20°，则∠NDE=　　．5．如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE，则∠AEB=　　．6．在等腰△ABC中，周长=8cm，AC=3cm，BC=　　．（2）等腰△ABC中，若∠A=40°，则底角=　　．7．如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，则（1）θ1=　　； （2）θn=　　．　二、选择题8．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（　　）A．B．C．D．9．和三角形三条边距离相等的点是（　　）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点10．如图，△ABC中BD是角平分线，∠A=∠CBD=36°，则图中等腰三角形有（　　）A．3个B．2个C．1个D．0个11．下列语句中正确的有（　　）句①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．A．1B．2C．3D．412．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（　　） A．EF＞BE+CFB．EF=BE+CFC．EF＜BE+CFD．不能确定13．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（　　）A．7B．8C．9D．10　三、画图题14．以直线为对称轴，画出下列图形的另一部分使它们成为轴对称图形：15．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．16．已知右边方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示．请在小方格的顶点上确定一点C，连接AB、AC、BC，使△ABC为等腰三角形且它的面积为4个平方单位． 17．利用网格线作图：在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB=QC．18．已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图①，请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．　四、解答题19．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，已知∠1=70°，求∠2的度数．20．如图，CD、CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，DF∥BC交AC于点E，那么DE=EF吗？说出你的理由． 21．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．　 《第2章轴对称图形》参考答案与试题解析　一、填空题1．角有　一　条对称轴，其对称轴是　角平分线所在直线　．【考点】轴对称的性质．【分析】根据角和轴对称的定义和性质，即可得出答案．【解答】解：角是轴对称图形，有一条对称轴，它的平分线所在直线就是它的对称轴．故答案为：一，角平分线所在直线．【点评】本题考查轴对称图形的性质和定义．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．　2．已知等腰三角形的一边等于4cm，一边等于9cm，那么它的周长等于　22　cm；若等腰三角形的一个角为70°，则它的另两个角是　70°，40°或55°，55°　．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分为两种情况①三角形三边为4cm，4cm，9cm，②三角形三边为4cm，9cm，9cm，看看是否符合三角形的三边关系定理，求出即可；分为两种情况：①当底角为70°时，②当顶角为70°时，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：∵等腰三角形的一边等于4cm，一边等于9cm，∴分为两种情况：①三角形三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况不行；②三角形三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，三角形的周长为4+9+9=22（cm）；∵等腰三角形的一个角为70°，∴分为两种情况：①当底角为70°时，顶角为180°﹣70°﹣70°=40°；②当顶角为70°时，底角为×（180°﹣70°）=55°；即它的另两个角是70°，40°或55°，55°，故答案为：22，70°，40°或55°，55°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，三角形内角和定理的应用，题目比较好，难度适中．　3．如图，在△ABC中，AB=AC=30cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．（1）若∠C=70°，则∠BEC=　80°　；（2）若BC=20cm，则△BCE的周长是　50　cm．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，再由三角形内角和定理求出∠A的度数，根据线段垂直平分线的性质求出AE=BE，故可得出∠ABE的度数，进而可得出结论；（2）根据AE=BD可知，BE+CE=AE+CE=AC，由此可得出结论．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC=30cm，∠C=70°，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠C=180°﹣70°﹣70°=40°．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=70°﹣40°=30°，∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠EBC=180°﹣70°﹣30°=80°．故答案为：80°；（2）∵由（1）知AE=BE，∴BE+CE=AE+CE=AC=30cm，∵BC=20cm，∴△BCE的周长=AC+BC=30+20=50（cm）．故答案为：50． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．　4．如图，在∠MON的两边上顺次取点，使DE=CD=BC=AB=OA，若∠MON=20°，则∠NDE=　100°　．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABO=∠MON=20°，∠BAC=∠ACB，∠CBD=∠CDB，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质逐个求出即可．【解答】解：∵DE=CD=BC=AB=OA，∠MON=20°，∴∠ABO=∠MON=20°，∴∠BAC=∠ACB=∠MON+∠ABO=20°+20°=40°，∴∠CBD=∠CDB=∠MON+∠BCA=20°+40°=60°，∴∠DCE=∠DEC=∠MON+∠CDB=20°+60°=80°，∴∠NDE=∠MON+∠DEC=20°+80°=100°，故答案为：100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，等边对等角．　5．如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE，则∠AEB=　30°　． 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据条件可以求出△ADE和△BCE为等腰三角形，就可以求出∠AED=∠BEC=15°，从而可以求出∠AEB的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°．∵△DCE是等边三角形，∴CD=DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°．∴AD=ED，BC=CE，∠ADE=150°，∠BCE=150°．∴∠AED=∠BEC=15°，∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°．故答案为30°．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时求出∠AED和∠BEC的度数很关键．　6．在等腰△ABC中，周长=8cm，AC=3cm，BC=　3cm或2cm或2.5cm　．（2）等腰△ABC中，若∠A=40°，则底角=　70°或40°　．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】（1）由于已知周长和一边，边是腰长和底边没有明确，因此需要分两种情况讨论．（2）根据已知内角为顶角和底角，分类求解．【解答】解：（1）当腰长AC=BC=3cm时，底边为8﹣3﹣3=2（cm），而3，3，2能组成三角形，符合题意；当腰长AC=AB=3cm时，底边为BC=8﹣3﹣3=2（cm），而3，3，2能组成三角形，符合题意；当底边AC=3cm时，腰长BC=（8﹣3）÷2=2.5（cm），3，2.5，2.5能组成三角形，符合题意．故BC的长为3cm或2cm或2.5cm．（2）当∠A=40°为顶角时，底角=（180°﹣40°）÷2=70°；当∠A=40°为底角时，直接得出结论．故底角=70°或40°．故答案为：3cm或2cm或2.5cm；70°或40°． 【点评】（1）考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，注意分类思想的运用．（2）考查了等腰三角形的性质．关键是根据已知角为顶角和底角，分类讨论．　7．如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，则（1）θ1=　　；（2）θn=　　．【考点】等腰三角形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】设∠A1B1O=x，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1=；同理求得θ2=；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．【解答】解：（1）设∠A1B1O=x，则α+2x=180°，x=180°﹣θ1，∴θ1=；（2）设∠A2B2B1=y，则θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，①×2﹣②得：2θ2﹣θ1=180°，∴θ2=； …θn=．故答案为：（1）；（2）θn=．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是总结归纳出规律．　二、选择题8．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（　　）A．B．C．D．【考点】镜面对称．【分析】根据镜面对称的性质求解．【解答】解：8点的时钟，在镜子里看起来应该是4点，所以最接近8点的时间在镜子里看起来就更接近4点，所以应该是图B所示，最接近8点时间．故选B．【点评】主要考查镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．　9．和三角形三条边距离相等的点是（　　）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点【考点】角平分线的性质．【分析】题目要求到三边距离相等，可两两分别思考，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案．【解答】解：中线交点即三角形的重心，三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，B错误；高的交点是三角形的垂心，到三边的距离不相等，C错误；线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，D错误；∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴要到三角形三条边距离相等的点，只能是三条角平分线的交点，A正确．故选A．【点评】本题考查了角平分线的性质；熟练掌握三角形中角平分线，重心，垂心，垂直平分线的性质，是解答本题的关键．　10．如图，△ABC中BD是角平分线，∠A=∠CBD=36°，则图中等腰三角形有（　　）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据已知可求得∠ABD与∠C的度数，从而可推出AD=DB，AB=AC，再根据三角形外角的性质可得到∠BDC的度数，从而可推出BD=DC，即不难求得图中等腰三角形的个数．【解答】解：∵△ABC中BD是角平分线，∠A=∠CBD=36°∴∠ABD=36°，∠C=72°∴AD=DB（△ADB是等腰三角形），∠ABC=72°∴AB=AC（△ABC是等腰三角形）∴∠BDC=72°∴BD=BC（△BDC是等腰三角形）故选A．【点评】此题主要考查等腰三角形的判定，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．　11．下列语句中正确的有（　　）句①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．A．1B．2C．3D．4【考点】轴对称的性质． 【分析】认真阅读4个小问题提供的已知条件，根据轴对称的性质，对题中条件进行一一分析，得到正确选项．【解答】解：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确；②两个能重合的图形全等，但不一定关于某条直线对称，错误；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确；④两个轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，还可以在对称轴上，错误．故选B．【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，找着每个问题的正误的具体原因是正确解答本题的关键．　12．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（　　）A．EF＞BE+CFB．EF=BE+CFC．EF＜BE+CFD．不能确定【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，解出△BED和△CFD是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．【解答】解：由BD平分∠ABC得，∠EBD=∠ABC，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=2∠EBD，∠AEF=∠EBD+∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴△BED是等腰三角形，∴ED=BE，同理可得，DF=FC，（△CFD是等腰三角形）∴EF=ED+EF=BE+FC，∴EF=BE+CF．故选B． 【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质及平行线的性质；一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出相等的边，进而得出结果．进行等量代换是解答本题的关键．　13．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（　　）A．7B．8C．9D．10【考点】等腰三角形的判定．【专题】网格型．【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选C．【点评】此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．　三、画图题14．以直线为对称轴，画出下列图形的另一部分使它们成为轴对称图形： 【考点】作图-轴对称变换．【分析】从各点分别向直线引垂线并延长相同长度找到对应点，顺次连接即可．【解答】解：从三角形的三顶点分别向直线引垂线并延长相同长度找到对应点，顺次连接．【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质．作轴对称变换找对应点是关键．　15．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．【考点】作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】（1）作出∠AOB的平分线，（2）作出CD的中垂线，（3）找到交点P即为所求．【解答】解：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P． 【点评】解答此题要明确两点：（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）中垂线上的点到两个端点的距离相等．　16．已知右边方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示．请在小方格的顶点上确定一点C，连接AB、AC、BC，使△ABC为等腰三角形且它的面积为4个平方单位．【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的性质．【分析】可根据面积来确定高和底边，那么要确定的三角形的高和底边的长一个是4，一个是，2，我们发现可以用底4高2来确定三角形．【解答】解：作图如下：△ABC即为所求的等腰三角形且它的面积为4个平方单位的图形．【点评】考查了作图﹣应用与设计作图和等腰三角形的性质，解决此类方格内画三角形的题，主要是根据已知和所求先确定三角形的边的长．　17．利用网格线作图：在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB=QC． 【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据网格特点先作出∠A的角平分线与BC的交点就是点P，再作BC的垂直平分线与AP的交点就是点Q．【解答】解：如图，点P就是所要求作的到AB和AC的距离相等的点，点Q就是所要求作的使QB=QC的点．【点评】本题主要考查了利用网格结构作角的平分线，线段的垂直平分线，找出相应的点是解题的关键．　18．已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图①，请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】作图题．【分析】利用三角形内角和定理和三角形外角性质以及提供的分法来作图． 【解答】解：如图，．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理及三角形外角的性质；顶角为36°和108°的等腰三角形也是特殊的三角形，它可得到与它相似的三角形，主要是作底角的平分线．　四、解答题19．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，已知∠1=70°，求∠2的度数．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形两底角相等可得∠1=∠BAD，再求出∠B，然后根据等腰三角形的性质求出∠BAC，再根据∠2=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．【解答】解：∵AB=BD，∠1=70°，∴∠1=∠BAD=70°，在△ABD中，∠B=180°﹣2×70°=40°，∵AB=AC，∴∠BAC=180°﹣2×40°=100°，∴∠2=∠BAC﹣∠BAD=100°﹣70°=30°．故∠2的度数是30°．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，准确识图是解题的关键．　20．如图，CD、CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，DF∥BC交AC于点E，那么DE=EF吗？说出你的理由． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】DE=EF，首先根据角平分线定义得出∠DCE=∠ACB，∠ECF=∠ACG，从而得出∠DCF=90°；再由平行线的性质得出∠EDC=∠BCD，即可得ED=EC．【解答】答：DE=EF，理由如下：解：∵CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线，∴∠DCE=∠ACB，∠ECF=∠ACG，∵∠ACB+∠ACG=180°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∴△DCF为直角三角形，∵DF∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∵∠ECD=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC，同理EF=EC，∴DE=EF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识比较简单．　21．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系． 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【分析】连接AE、CE，根据直角三角形斜边上中线性质求出AE=CE，根据等腰三角形的性质得出即可．【解答】解：EF⊥AC，理由是：连接AE、CE，∵∠BAD=∠BCD=90°，E为BD中点，∴AE=BD，CE=BD，∴AE=CE，∵F为AC中点，∴EF⊥AC．【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．　22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后利用“HL”证明Rt△AED和Rt△AFD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再利用等腰三角形三线合一的性质证明即可．【解答】解：AD⊥EF．理由如下：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△AED和Rt△AFD中，∵，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD平分∠EAF，∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一）．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键．