欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:14006123
大小:499.50 KB
页数:15页
时间:2018-07-25
《王明慈版 概率论与数理统计 习题三》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题三1甲,乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为X0123PX(xi)Y0.40.30.20.10123PY(yi)0.30.50.20若两台机器的日产量相同,问哪台机器较好?解:甲台机器一天的平均次品数EX=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1;乙台机器一天的平均次品数EY=0×0.43+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9,∵EX>EY,而两台机器的日产量相同,所以乙台机器较好。x2某种电子元件的寿命X(单位:h)的概率密度为:⎧f(x)=⎨áá2−x,xex>0;其中>0为常数.求这种电子元件的
2、平均寿命。á⎩0,x<0.+∞+∞+∞2解:=∫()=∫2−á=2∫2−á利用两次分部积分,可得=。EXxfxdxxáxedxáxedxEX−∞00á3设随机变量X的概率密度为x⎧ká,03、机变量X的概率分布如下:-1012X1111P(x)6662Xi求,(−2+1),2.EXEXEX解:=(−1)×1+0×1+1×1+2×1=1;EX6662E(−2X+1)=(−2)EX+1=−1;1=.EX666235一批零件中有9个合格品与3个废品,安装机器时从这批零件中任取一个。如果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望,方差与标准差。解:设表示取得合格品以前已取出的废品数,则的概率分布为XX0123PX911212P3P9P12即21P3P93P1231P3P94P120123X3304、P440904401844014401=≐0.29;EX440440440440=2−()2=12×90+22×18+32×1−(129)2≐0.30DXEXEX440440440440óX=DX≐0.55.x⎧0,<−1;⎪6设随机变量的分布函数为F(x)=⎨a+barcsinx,−1≤x≤1;试确定常数a,b,并求X与。EXDX⎪⎩1,x>1.⎪⎧b,−1≤≤1;1x+∞解:()=⎨1−2又∫()=1,fx⎪x−∞fxdx⎩0,其它.1∴∫=b=1,∴arcsin1−arcsin(−1)=1⇒=;x−5、11−2dxbbðF(0)=a+barcsin0=a;又(0)=(0≤0)=∫0111=()=∫,FPX∴=1.−∞fxdx−1ð1−2dx2xa2+∞11111∵∫−∞dx∫−11−21−2EX=xf(x)=xdx,x是奇函数,积分区间是对称区间,所以=0;EXðxðx=2−2=+∞2=∫2()DXEXEXEX21111=∫=.−∞xfxdx−1xð1−x2dx227设随机变量X服从自由度为k的÷分布,其概率密度为⎧1=k−1/22,>0;⎪−x⎨()=⎪2k/2Ã(k)xex其中k6、为正整数,求的数学期望和方差。fx⎪2X⎪⎩0,其它.+∞解:Ã函数:Ã()=∫á−1−x,Ã(+1)=Ã(),>0,á0xedxáááá2+∞1−1/2+∞2/21kkEX=∫0−x=x2/2Ã(k)xedx∫02/2Ã(k)−xxedxkk22xt令==x则=2,所以t21k=∫(2)2−t(2)0EX2k/2Ã(k)tedt2=∫1+∞=k+1k0222−t2k/2Ã(k)tedt2=k+1222−k+10=∫+∞−2t2k/2Ã(k)tedt2=k+122+2=Ã(k)=2⋅=k=k;2k/7、2Ã(k)2222=+∞21=k−1−x/2−()2DX∫0x2k/2Ã(k)xedxEX22令t==x则x=2t,所以=∫1+∞=k+1−(2)2t(2)−20DX2k/2Ã(k)tedtk2=k+222+∞k+4−1220=∫−t−2k/2Ã(k)tedtk2=k4+4Ã()−Ã(),2,又Ã(k+4)=Ã(k+2+1)=k+2Ã(k+2)=k+2kkÃ(k)2k2=kkk4+2⋅Ã()-22222222Ã(k)2=2k.222k8证明:函数()=[(−)2]当=时取得最小值,且最小值为。提示:考8、虑øtEXttEXDX()={[(−)+(−)]2}.ϕtEXEXEXt证明:()={[(−)+(−)]2}ϕtEXEXEXt=(−)2+2[(−)(−)]+(−)2EXEXEXEXEXtEEXt=(−)2+(−)2EXEXEXtϕ2要使(t)最小,
3、机变量X的概率分布如下:-1012X1111P(x)6662Xi求,(−2+1),2.EXEXEX解:=(−1)×1+0×1+1×1+2×1=1;EX6662E(−2X+1)=(−2)EX+1=−1;1=.EX666235一批零件中有9个合格品与3个废品,安装机器时从这批零件中任取一个。如果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望,方差与标准差。解:设表示取得合格品以前已取出的废品数,则的概率分布为XX0123PX911212P3P9P12即21P3P93P1231P3P94P120123X330
4、P440904401844014401=≐0.29;EX440440440440=2−()2=12×90+22×18+32×1−(129)2≐0.30DXEXEX440440440440óX=DX≐0.55.x⎧0,<−1;⎪6设随机变量的分布函数为F(x)=⎨a+barcsinx,−1≤x≤1;试确定常数a,b,并求X与。EXDX⎪⎩1,x>1.⎪⎧b,−1≤≤1;1x+∞解:()=⎨1−2又∫()=1,fx⎪x−∞fxdx⎩0,其它.1∴∫=b=1,∴arcsin1−arcsin(−1)=1⇒=;x−
5、11−2dxbbðF(0)=a+barcsin0=a;又(0)=(0≤0)=∫0111=()=∫,FPX∴=1.−∞fxdx−1ð1−2dx2xa2+∞11111∵∫−∞dx∫−11−21−2EX=xf(x)=xdx,x是奇函数,积分区间是对称区间,所以=0;EXðxðx=2−2=+∞2=∫2()DXEXEXEX21111=∫=.−∞xfxdx−1xð1−x2dx227设随机变量X服从自由度为k的÷分布,其概率密度为⎧1=k−1/22,>0;⎪−x⎨()=⎪2k/2Ã(k)xex其中k
6、为正整数,求的数学期望和方差。fx⎪2X⎪⎩0,其它.+∞解:Ã函数:Ã()=∫á−1−x,Ã(+1)=Ã(),>0,á0xedxáááá2+∞1−1/2+∞2/21kkEX=∫0−x=x2/2Ã(k)xedx∫02/2Ã(k)−xxedxkk22xt令==x则=2,所以t21k=∫(2)2−t(2)0EX2k/2Ã(k)tedt2=∫1+∞=k+1k0222−t2k/2Ã(k)tedt2=k+1222−k+10=∫+∞−2t2k/2Ã(k)tedt2=k+122+2=Ã(k)=2⋅=k=k;2k/
7、2Ã(k)2222=+∞21=k−1−x/2−()2DX∫0x2k/2Ã(k)xedxEX22令t==x则x=2t,所以=∫1+∞=k+1−(2)2t(2)−20DX2k/2Ã(k)tedtk2=k+222+∞k+4−1220=∫−t−2k/2Ã(k)tedtk2=k4+4Ã()−Ã(),2,又Ã(k+4)=Ã(k+2+1)=k+2Ã(k+2)=k+2kkÃ(k)2k2=kkk4+2⋅Ã()-22222222Ã(k)2=2k.222k8证明:函数()=[(−)2]当=时取得最小值,且最小值为。提示:考
8、虑øtEXttEXDX()={[(−)+(−)]2}.ϕtEXEXEXt证明:()={[(−)+(−)]2}ϕtEXEXEXt=(−)2+2[(−)(−)]+(−)2EXEXEXEXEXtEEXt=(−)2+(−)2EXEXEXtϕ2要使(t)最小,
此文档下载收益归作者所有