王明慈版 概率论与数理统计 习题三.doc

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1、习题三1甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为X0123PX(xi)Y0.40.30.20.10123PY(yi)0.30.50.20若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？解：甲台机器一天的平均次品数EX=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1;乙台机器一天的平均次品数EY=0×0.43+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9，∵EX>EY,而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。x2某种电子元件的寿命X（单位：h）的概率密度为：⎧f(x)=⎨áá2−x,xex>0;其中>0为常数.求这种电子元件的平均寿命。á⎩0,x<0.+

2、∞+∞+∞2解：=∫()=∫2−á=2∫2−á利用两次分部积分，可得=。EXxfxdxxáxedxáxedxEX−∞00á3设随机变量X的概率密度为x⎧ká,0

3、62Xi求,(−2+1),2.EXEXEX解：=(−1)×1+0×1+1×1+2×1=1;EX6662E(−2X+1)=(−2)EX+1=−1;1=.EX666235一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时从这批零件中任取一个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望，方差与标准差。解：设表示取得合格品以前已取出的废品数，则的概率分布为XX0123PX911212P3P9P12即21P3P93P1231P3P94P120123X330P440904401844014401=≐0.29;EX44044044044

4、0=2−()2=12×90+22×18+32×1−(129)2≐0.30DXEXEX440440440440óX=DX≐0.55.x⎧0,<−1;⎪6设随机变量的分布函数为F(x)=⎨a+barcsinx,−1≤x≤1;试确定常数a,b，并求X与。EXDX⎪⎩1,x>1.⎪⎧b,−1≤≤1;1x+∞解：()=⎨1−2又∫()=1,fx⎪x−∞fxdx⎩0,其它.1∴∫=b=1,∴arcsin1−arcsin(−1)=1⇒=;x−11−2dxbbðF(0)=a+barcsin0=a;又(0)=(0≤0)=∫0111=()=∫,FPX∴

5、=1.−∞fxdx−1ð1−2dx2xa2+∞11111∵∫−∞dx∫−11−21−2EX=xf(x)=xdx,x是奇函数，积分区间是对称区间，所以=0;EXðxðx=2−2=+∞2=∫2()DXEXEXEX21111=∫=.−∞xfxdx−1xð1−x2dx227设随机变量X服从自由度为k的÷分布，其概率密度为⎧1=k−1/22,>0;⎪−x⎨()=⎪2k/2Ã(k)xex其中k为正整数，求的数学期望和方差。fx⎪2X⎪⎩0,其它.+∞解：Ã函数：Ã()=∫á−1−x,Ã(+1)=Ã(),>0,á0xedx

6、áááá2+∞1−1/2+∞2/21kkEX=∫0−x=x2/2Ã(k)xedx∫02/2Ã(k)−xxedxkk22xt令==x则=2，所以t21k=∫(2)2−t(2)0EX2k/2Ã(k)tedt2=∫1+∞=k+1k0222−t2k/2Ã(k)tedt2=k+1222−k+10=∫+∞−2t2k/2Ã(k)tedt2=k+122+2=Ã(k)=2⋅=k=k;2k/2Ã(k)2222=+∞21=k−1−x/2−()2DX∫0x2k/2Ã(k)xedxEX22令t==x则x=2t，所以=∫1+∞=k+1−(2)2t(2)−2

7、0DX2k/2Ã(k)tedtk2=k+222+∞k+4−1220=∫−t−2k/2Ã(k)tedtk2=k4+4Ã()−Ã(）,2,又Ã(k+4)=Ã(k+2+1)=k+2Ã(k+2）=k+2kkÃ(k)2k2=kkk4+2⋅Ã(）-22222222Ã(k)2=2k.222k8证明：函数()=[(−)2]当=时取得最小值，且最小值为。提示：考虑øtEXttEXDX()={[(−)+(−)]2}.ϕtEXEXEXt证明：()={[(−)+(−)]2}ϕtEXEXEXt=(−)2+2[(−)(−)]+(−)2EXEX

8、EXEXEXtEEXt=(−)2+(−)2EXEXEXtϕ2要使(t)最小，