王明慈版概率论与数理统计习的题目三

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1、实用标准文案习题三1甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为X0123PX(xi)Y0.40.30.20.10123PY(yi)0.30.50.20若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？解：甲台机器一天的平均次品数EX=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1;乙台机器一天的平均次品数EY=0×0.43+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9，∵EX>EY,而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。x2某种电子元件的寿命X（单位：h）的概率密度为：精彩文档实用标准文案⎧f(x)=⎨áá

2、2−x,xex>0;其中>0为常数.求这种电子元件的平均寿命。á精彩文档实用标准文案⎩0,x<0.+∞+∞+∞2精彩文档实用标准文案解：=∫()=∫2−á=2∫2−á利用两次分部积分，可得=。精彩文档实用标准文案EXxfxdxxáxedxáxedxEX精彩文档实用标准文案−∞00á3设随机变量X的概率密度为x⎧ká,0

3、文档实用标准文案á+1á1+精彩文档实用标准文案1∫0kxdx=1⇒k又x=1⇒+10áá1ák=1;ká1+2á1精彩文档实用标准文案EX=0.75,∴∫0xkxdx=0.75⇒kx+20=k=075;+2精彩文档实用标准文案ááá两式联立可解得=3,=2.k4设设随机变量X的概率分布如下：-1012X1111P(x)6662Xi精彩文档实用标准文案求,(−2+1),2.精彩文档实用标准文案EXEXEX解：=(−1)×1+0×1+1×1+2×1=1;EX6662精彩文档实用标准文案E(−2

4、X+1)=(−2)EX+1=−1;1=.EX666235一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时从这批零件中任取一个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望，方差与标准差。解：设表示取得合格品以前已取出的废品数，则的概率分布为XX0123精彩文档实用标准文案PX911212P3P9P12即21P3P93P1231P3P94P12精彩文档实用标准文案0123X精彩文档实用标准文案330P44090440184401440精彩文档实用标准文案1=≐0.29;EX4

5、40440440440=2−()2=12×90+22×18+32×1−(129)2≐0.30精彩文档实用标准文案DXEXEX440440440440精彩文档实用标准文案óX=DX≐0.55.x⎧0,<−1;⎪精彩文档实用标准文案6设随机变量的分布函数为F(x)=⎨a+barcsinx,−1≤x≤1;试确定常数a,b，并求精彩文档实用标准文案X与。EXDX⎪⎩1,x>1.精彩文档实用标准文案⎪⎧b,−1≤≤1;1x+∞精彩文档实用标准文案解：()=⎨1−2又∫()=1,精彩文档实用标准文案fx

6、⎪x−∞fxdx精彩文档实用标准文案⎩0,其它.精彩文档实用标准文案1∴∫=b=1,∴arcsin1−arcsin(−1)=1⇒=;精彩文档实用标准文案x−11−2dxbbð精彩文档实用标准文案F(0)=a+barcsin0=a;精彩文档实用标准文案又(0)=(0≤0)=∫0111=()=∫,精彩文档实用标准文案FPX∴=1.−∞fxdx−1ð1−2dx2x精彩文档实用标准文案a2+∞11111∵精彩文档实用标准文案∫−∞dx∫−11−21−2精彩文档实用标准文案EX=xf(x

7、)=xdx,x是奇函数，积分区间是对称区间，所精彩文档实用标准文案以=0;EXðxðx精彩文档实用标准文案=2−2=+∞2=∫2()精彩文档实用标准文案DXEXEXEX21111=∫=.−∞xfxdx精彩文档实用标准文案−1xð1−x2dx22精彩文档实用标准文案7设随机变量X服从自由度为k的÷分布，其概率密度为精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案⎧1=k−1/22,>0;精彩文档实用标准文案⎪−x精彩文档实用标准文案⎨()=⎪2k/2Ã(k)xex其中k为正整数，求的数学期望和

8、方差。精彩文档实用标准文案fx⎪2X⎪⎩0,其它.精彩文档实用标准文案+∞解：Ã函数：Ã()=∫á−1−x,Ã(+1)=Ã(),>0,精彩文档实用标准文案á0xedxáááá精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案2+∞1−1/2+∞2/2精彩文档实用标准文案1kk精彩文档实用标准文案EX=∫0−x=x2/2Ã(k)xedx∫02/2Ã(k)−xxedx精彩文档实用标准文案kk22xt令==x则=2，所以t2精彩文档实用标