《概率论与数理统计》习题三

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1、习题三1・将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次屮出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值•试写出X和Y的联合分布律・20122P(0黑,2红,2白)二2412CC/C2C24C7352C324£<_35<一7一一353•设二维随机变量0XWY）的联合努布函数为求二维随机变量（X,【解】如图p{0x714FmSnjcsjny,0,Y)在长方形域0X71TC71671F(,471)3uvt3｝公式(3.2)7171F(,)F(0,)4671y2其他.TC71F(0,)6内的概

2、率・nnTTTTTTTT=sin—$n—-sin—$n—_sin0③in—+sinO^in—4”36-3"6=纟(闪/)•4题图JT6说明：也可先求岀密度函数，再求概率。4•设随机变量(X,丫)的分布密度f(x,y)=Ae」"x>O,y>0,0,其他求：(1)(2)(3)常数A；随机变量(X,Y)的分布函数;P{0§X今，0

3、其他0,A=12=ff由定义，有HF_+F(x,y)=v•f(u,v)dudv(3)P{01X1,0Y2}(3x4y)$12edxdy,(103e)(10.9499.5•设随机变量(X,Y)的概率密度为k(6f(x,y)=xy),x2,2y4,其他.(1)(2)(3)(4)k；确定常数求P{X<1,Y<3}；求P{X<1.5}；求P{X+Y<4}.【解】(1)由性质有-bC24J.1f(x,y)dxdy=IIk(6-x-y)dydx=8k=1,02=・U(x,y)dydx31=3028k(6-x

4、-y)dydx-8⑶P{X1.5}=U_Jff(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdyD_1=仝

5、.51=關4(60-2y>dy27//324}42；4xy如图*xyxyr(，)dddx；!o[d1X(6y)dyIP8(a)Y的密度函数为rI——<<題图【解】(1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布，所以X的密度函数为,0x0.2f(x)0.2X0,其他-5y所以f(x,yX丫独立fXf(y)Y_j5e■io,y>o,其他.且00.2其他5y0.20,=USf(x,y)dxdy如图25edxd

6、y=fD•0.25e<⑵P(YX)y.x=fI-0.2-x厂・5y9x25edy0v25e0,—"_+5x5e5)dxo,o-1=e7•设二维随机变量（X,Y）0.3679・_的联合弁布询数为2(1e4xy),x0,yfceo(x,0,'y)=八人•求（X,Y）的联合分布密度【解】fwtj（'）8e(4x2y)0,xy0,8•设二维随机变曇半=uf(y)Yo,X,Y）的概率密度为(x,y)4.8y(2「0，I其他.X),yx,廷他.4.8y(2x)dy22.4x(2X),1,0,其他.0,f(x

7、,y)dx2y)，oy其他.4.8y(2x)dx2.4y(34yy0,0,题8图X,Y）的概率密度为>1题9图9•设二维随机变量（f(x,-ye,00yyxed00,0,yxe（1）试确定常数Y）的概率密度为JJ22f(x,y)二ex%x0,J/题10图10•设二维随机变墓JX,yt其他.（2）求边缘概率密度【解】⑴rfTx,y)d*ly如图•'一乂

8、df(Xyd対y4112=dxexydyc1.2-14⑵f(x)f(x,y)dyXX2122124—xydy=x(1"x),4〔8©0,其他.f(y)f(x,y)dx!Jr~2152-7J

9、y

10、x1,f(yl

11、x)Y

12、X2xf(X)0,X其他y

13、4f(x

14、y)IX

15、Yf(y)[1yo,其他.12•袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.(1)求X与丫的联合概率分布；一一Yr=r=r=}rX■XiXp-^14—2233o3■■=二=cococo555zu22o3■■=TOcoco4—55■■二二21c1odIIo5PYy136{}=?=—XTQ=—式―=10==j10Y0.300.350.40.150,