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时间:2018-07-22
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1、[导数与微分]导数与微分总结篇一:导数与微分总结导数和微分一、学习要求:正确理解微商的概念;知道微商的几何意义与物理意义;掌握可导与连续的关系;牢固掌握求导的四则运算公式、复合函数求导的法则和反函数求导的法则,能迅速正确地求初等函数的导数;熟悉基本初等函数的求导公式;掌握隐函数的求导法,对数求导法,由参数方程确定的函数的求导法;正确理解微分概念;了解可微与可导的关系,知道导数与微分的区别与联系;正确理解一阶微分的形式不变性,并会用它求导.二、学习的重点与难点重点:微商与微分的概念,求导的四则运算法则,复合函数的求导法则,基本初等函数的求导公
2、式.难点:复合函数的求导法则,一阶微分的形式不变性.三、导数的常用计算方法利用微商的定义求导;利用求导的四则运算法则及基本初等函数的导数公式求导;利用反函数求导法则求导;利用复合函数的链式法则求导;利用对数求导法则求导;隐函数求导法;由参数方程给出的函数的求导;用莱布尼兹公式求高阶导数.四、微分的求法用dy=f′dx来求;利用微分的四则运算公式来求;利用一阶微分的形式不变性来求复合函数的微分.1.定义的提出:由两个问题引入导数的思想:瞬时速度和切线的斜率.定义1设函数y=f在点x0的某领域内有定义,若极限limx→x0f?fx?x0存在,则
3、称f在x0可导,并称该极限为f在x0点的导数,记为f′.注:几个等价的形式:若令x=x0+Δx,Δy=f?f,则式也可写成:limf?fΔy=f′.=limx→x0x→x0ΔxΔx在不求极限时,这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率,而导数f′则为f在x0处关于自变量x的变化率.导数的几何意义:过)的切线的斜率.例1利用定义求:y=x2在x=1处的导数,并求曲线在处的切线方程.例2证明y=x在x=0处不可导.下面介绍可导与连续的关系:定理若函数f在x0可导,则f在x0点连续.但是反之一般不成立.证明要用到有限增量公式,即:Δy=f′Δx+
4、o例3证明函数y=x2D仅在x=0处可导,其中D为狄利克雷函数.由于导数的概念是由极限给出的,因此也可考虑单侧的极限,进而就有单侧导数的概念:定义2设函数y=f在点x0的某右领域内有定义,若极限lim+x→x0f?fx?x0存在,则称f在x0右可导,并称该极限为f在x0点的右导数,记为f+′.类似的,可以定义左导数的概念.定理f在x0可导的充要条件是:f在x0左,右可导.这个定理通常针对分段函数的分界点.?1?cosx,x≥0例4设f=?,讨论函数在x=0的左,右导数以及导数.?x,x2.导函数若函数f在区间I上的每一点都可导,则称f为I上
5、的可导函数.此时对每个x∈I,都有f的一个导数f′与之对应.这样就定义了一个在I上的函数,称其为f在I上的导函数.记为f′,y′或dy.dx例证明者1)′=nxn?12)′=cosx,′=?sinx3)′=3.导数的几何意义例求曲线y=x3在点P处的切线与法线方程.1logaex4.关于极值极值是函数的局部性质.定义若函数f在x0的某邻域U内对一切x∈U有f≥ff≤f则称f在x0取得极大值.极大,极小通称为极值.例证明:若f+′>0,则存在δ>0,对任何x∈,有f定理设函数f在x0的某邻域U内有定义,且在x0可导.若点x0是f的极值点,则f
6、′=0.称满足方程f′=0的点为稳定点.因此费马定理表明:可导的极值点必为稳定点,但反之一般是不成立的.定理若函数f在[a,b]上可导,且f+′≠f?′,k为介于f+′与f?′之间的任一实数,则至少存在一点ξ∈,使得f′=k1.四则运算±v)′=u′±v′v)′=u′v+uv′u′v?uv′)′=2vv例1设f=x3+5x2?9x+π,求f′例2y=cosxlnx,求y′x=π例3证明′=?nx?n?1例4求′=secxtanx,′=?cscxcotnx2.反函数的导数定理设y=f是x=?的反函数,若?在点y0的某邻域内连续,严格单调且?′
7、≠0,则f在点x0可导,且f′=3.复合函数的导数1?′引理f在x0可导的充要条件是在x0的某邻域U内,存在一个在点x0连续的函数H,使得f?f=H从而f′=H.注:f在x0可导的充要条件是:x0是函数f?f的可去间断点.x?x0定理设u=?在x0点可导,y=f在点u0=?可导,则复合函数fo?在点x0可导,且′=f′?′=f′)?′.例设y=sinx2,求y′例设f=x2+1,求f′,f′1,求f′x例例f=ln,f=tan2设y=521312,求y′.例设y=uv,其中u>0,u,v均可导,试求此幂指函数的导数.4.基本求导法则与公式求
8、导法则:′=u′±v′′=u′v+uv′uu′v?uv′′=vv2dy=dxdydydu=?dxdudx基本的求导公式c′=0c为常数′=αxα?1α为任意实数′=cosx,′=
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