导数与微分单元总结

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1、学科：数学教学内容：导数与微分单元达纲检测　　　　【知识结构】　　　　【内容提要】　　1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用．　　2．导数的概念．　　函数y=f(x)的导数f′(x)，就是当△x→0时，函数的增量△y与自变量△x的比的极限，即　　　　函数y=f(x)在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率．　　3．函数的微分　　函数y=f(x)的微分，即dy=f′(x)dx．　　微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即．　　函数

2、值的增量△y也可以用y的微分近似表示，即△y≈dy或△y≈f′(x)dx。　　4．求导数的方法　　(1)常用的导数公式　　c′=0(c为常数)；　　；　　(sinx)′=cosx；　　(cosx)′=－sinx；　　，　　；　　，　　。　　(2)两个函数四则运算的导数：　　(u±v)′=u′±v′；　　(uv)′=u′v+uv′　　。　　(3)复合函数的导数　　设y=f(u)，，　　则．　　5．导数的应用　　(1)切线的斜率　　根据导数的几何意义，函数f(x)在点处的导数就是曲线f(x)在点处的切线斜率。因此，求函数在某点处的切线

3、斜率，只要求函数在该点处的导数。　　(2)函数的单调性　　当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果f＇(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果f＇(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．对于某个区间上的可导函数，利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。　　(3)函数的极值　　对于可导函数f(x)判断其极值的方法为；　　1°．如果在附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，是极大值；　　2°．如果在附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，是极小值.　　可导函数f(x)在极值点处的

4、导数是0；导数为0的点不一定是极值点．例如，对于函数，x=0点处的导数是0，但它不是极值点．　　(4)函数的最值　　闭区间[a，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：　　1°．求函数f(x)在(a，b)内的极值；　　2°．将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。　　　　【难题巧解点拨】　　例1已知函数（a>0且a≠1）在定义域[0，1]上是减函数，求a的取值范围。　　分析因为f(x)在[0，1]上是减函数，所以在[0，1]上必有f′(x)<0。由不等式f′(x)<0求出

5、a的取值范围。　　解，　　由得　　（1）或（2）　　∵0≤x≤1，∴不等式（1）无解　　因而知a>1，又由　　∴1

6、　　从而－27>2－a，故a>29。　　点拨对于有关恒成立问题，一般思维方式是：a>f(x)恒成立，则a>[f(x)]的最大值；a

7、切点的横坐标为　　；又由y=0，得。　　5．提示：由，得；由，得。　　（1）由，得或；　　（2）由，得。　　6．提示：割线斜率为5，由y′=5，得所求点为（2，5）。　　7．（1）；　　（2）dy=2sinxcosxdx；　　（3）；　　（4）。　　8．质点的速度为。　　9．（1）由S=0，得，；　　（2）由S′=0，得，，。　　10．（1）当x∈R时，y是减函数。　　（2）当x∈(－∞，－1)时，y是减函数；当x∈(－1，0)时，y是增函数；x∈(0，2)时，y是减函数；当x∈(2，+∞)时，y是增函数。　　（3）当x∈(－∞，

8、－1)时，y是增函数；当时，y是减函数；当时，y是增函数。　　11．（1），。　　（2），。　　（3），。　　（4）。　　12．（1）y的最大值是8，最小值是－1；　　（2）y的最大值是2，最小值是－10；　　13．提示：如图ABCD是球内接圆柱的