导数与微分单元总结

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1、学科:数学教学内容:导数与微分单元达纲检测    【知识结构】    【内容提要】  1.本章主要内容是导数与微分的概念,求导数与求微分的方法,以及导数的应用.  2.导数的概念.  函数y=f(x)的导数f′(x),就是当△x→0时,函数的增量△y与自变量△x的比的极限,即    函数y=f(x)在点处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率.  3.函数的微分  函数y=f(x)的微分,即dy=f′(x)dx.  微分和导数的关系:微分是由导数来定义的,导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示,即.  函数

2、值的增量△y也可以用y的微分近似表示,即△y≈dy或△y≈f′(x)dx。  4.求导数的方法  (1)常用的导数公式  c′=0(c为常数);  ;  (sinx)′=cosx;  (cosx)′=-sinx;  ,  ;  ,  。  (2)两个函数四则运算的导数:  (u±v)′=u′±v′;  (uv)′=u′v+uv′  。  (3)复合函数的导数  设y=f(u),,  则.  5.导数的应用  (1)切线的斜率  根据导数的几何意义,函数f(x)在点处的导数就是曲线f(x)在点处的切线斜率。因此,求函数在某点处的切线

3、斜率,只要求函数在该点处的导数。  (2)函数的单调性  当函数y=f(x)在某个区间内可导时,如果f'(x)>0,则函数y=f(x)在这个区间上为增函数;如果f'(x)<0,则函数y=f(x)在这个区间上为减函数.对于某个区间上的可导函数,利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。  (3)函数的极值  对于可导函数f(x)判断其极值的方法为;  1°.如果在附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么,是极大值;  2°.如果在附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么,是极小值.  可导函数f(x)在极值点处的

4、导数是0;导数为0的点不一定是极值点.例如,对于函数,x=0点处的导数是0,但它不是极值点.  (4)函数的最值  闭区间[a,b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值,其求法为:  1°.求函数f(x)在(a,b)内的极值;  2°.将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。    【难题巧解点拨】  例1已知函数(a>0且a≠1)在定义域[0,1]上是减函数,求a的取值范围。  分析因为f(x)在[0,1]上是减函数,所以在[0,1]上必有f′(x)<0。由不等式f′(x)<0求出

5、a的取值范围。  解,  由得  (1)或(2)  ∵0≤x≤1,∴不等式(1)无解  因而知a>1,又由  ∴1

6、  从而-27>2-a,故a>29。  点拨对于有关恒成立问题,一般思维方式是:a>f(x)恒成立,则a>[f(x)]的最大值;a

7、切点的横坐标为  ;又由y=0,得。  5.提示:由,得;由,得。  (1)由,得或;  (2)由,得。  6.提示:割线斜率为5,由y′=5,得所求点为(2,5)。  7.(1);  (2)dy=2sinxcosxdx;  (3);  (4)。  8.质点的速度为。  9.(1)由S=0,得,;  (2)由S′=0,得,,。  10.(1)当x∈R时,y是减函数。  (2)当x∈(-∞,-1)时,y是减函数;当x∈(-1,0)时,y是增函数;x∈(0,2)时,y是减函数;当x∈(2,+∞)时,y是增函数。  (3)当x∈(-∞,

8、-1)时,y是增函数;当时,y是减函数;当时,y是增函数。  11.(1),。  (2),。  (3),。  (4)。  12.(1)y的最大值是8,最小值是-1;  (2)y的最大值是2,最小值是-10;  13.提示:如图ABCD是球内接圆柱的

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