第二单元 导数与微分

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1、第二单元导数与微分导数一、导数的概念1、定义：2、几何意义：过（x0,f(x0)）点的切线的斜率，即。切线方程：法线方程：3、可导与连续的关系：可导必连续，连续未必可导。如y=︱x︱，在x=0处不可导。4、左、右导数：（左导）（右导）5、导数存在的充要条件：（分段函数必须用此讨论）6、极限、连续、可导之间的关系：在x0处，可导→连续→极限存在，反之不真。二、导数公式：1.；2.3.4.6.9.10.11.12.13.14.1015.16.三、导数的四则运算设，都是可导的函数，则有：和差法则:乘法法则：特别地，（c是常数）；除法法则：四、复合函数微分法设函数在处有导数，函数在点的对

2、应点处也有导数，则复合函数，在点处有导数，且五、隐函数求导法设y=f(x)由方程F(x,y)=0所确定，求y/时，将方程中的y看作中间变量，先对其求导，再对x求导，解出y/即可。x=φ(t)六、由参数方程确定的函数的求导法则y=ψ(t)设y=y(x)由所确定，φ(t)、ψ(t)可导，且φ/(t)≠0，则有：七、对数求导法幂指函数的导数，可化成隐函数lny=vlnu,按隐函数求导法求其导数。10八、高阶导数1、显函数：一阶一阶的往上求，直至满足要求。2、隐函数：3、参数方程所表示的函数：均是对t求微分）或微分一、概念：二、微分与导数的关系：导数微分三、微分基本公式：（略，见导数基本

3、公式）四、微分的四则运算（1）（2），特别地，（C为常数）（3）五、复合函数的微分法则设则复合函数的微分为：六、微分用于近似计算例1设f(x)在x=x0处可导，且f/(x0)=2,求。解：例2设y=f(x)满足，求f/(0)（求x0=0时的导数)10解：所以例3设f(x)在x=2处可导，且f/(2)=1,求（x0=2）解：例4设f/(x0)=1,f(x0)=0,求（化成分式，添项）解：例5设y=f(x)在点x=1处可导，且求f(1)。（利用可导与连续关系求函数值）解：因y=f(x)在点x=1处可导，可知f(x)在x=1处必连续，由定义知例6设f/(1)=1，求（相应于区间[1，x

4、]的增量）解：例7设解：例8设解：例9求曲线y=1+sinx在点（0，1）处切线的斜率k。解：y/=cosx，y/(0)=1，所以k=1.10例10设y=y(x)由方程cos(x+y)+y=1确定，求解：等式两端同时求导得：－sin(x+y)(x+y)/+y/=0,即－sin(x+y)(1+y/)+y/=0，解得例11求由方程所确定的隐函数y=y(x)的导数y/。解：等式两端同时求导得：所以例12设函数，求y/(对数求导法)解：等式两端同时取对数得：lny=sinxlnx两端关于x求导得：所以例13设函数y=y(x)由参数方程x=cost,y=sint-tcost确定，求y/，y

5、//。解：（参数方程的导数）例14设解：10ln(1-x),-1

6、导数不相等，故导数不存在。例22设y=f(x)由参数方程x=ln(1+t2),y=t-arctant确定，求（06、14）10解：例23设函数y=y(x)是由参数方程x=cost,y=sint-tcost所确定，求（05、14）解：例24设函数y=y(x)由方程确定，求解：两端对x求导得：（07、14）所以，又当x=0时y=0故，用x=0,y=0及y/(0)=1代入得：例25函数f(x)是可导函数，下列各式中正确的是（A）A、B、10C、（08、2）D、（在[0，x]区月份间上）例26函数y=y(x)由方程x=t-sint,y=1-cost所确定，求（08、14）解：例27计算的

7、近似值。解：选，x0=100,x=100.1,则代入公式：f(x)≈f(x0)+f/(x0)(x-x0)得：x2+x,x≤0x2-x,x≥1ax3+bx2+cx+d,0