数学竞赛中的无理函数最值问题

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1、数学竞赛中的无理函数最值问题无理函数是一类特殊的函数，其最值(或值域)的求法大多涉及到化归思想，能较好的考查学生分析问题解决问题的能力，因此受到数学竞赛命题人的青睐，时常出现在数学竞赛中，本文结合近几年全国数学联赛中的一些试题，总结这类问题的解法，并给出相应练习供参考：一、利用函数单调性求无理函数的最值若无理函数函数的单调性比较容易确定，常借助其单调性求最值。例1（2010全国高中数学联赛）.函数的值域是.解析：该题是一道基础题，易知的定义域是，且在上是增函数，x=5时取到最小值-3，x=8时取到最大值，所以的值域为.练习1：

2、函数的最小值是.（）二、利用代数换元求无理函数的最值例2.（2011全国高中数学联赛山西预赛）函数的最大值是．解析：令，则，则，当，即取得等号，所以的最大值是.例3.（2011全国高中数学联赛四川初赛）已知，若函数的最大值为，求的最小值．解析：令，则，∴，∴当时，有最大值，即．∴，等号当且仅当时成立，∴当时，有最小值10．评析：对于形如“”的无理函数，一般可通过令，将原函数转化为关于t的二次函数，通过配方求最值，本法同样适用于形如“”的函数。练习2：函数的最小值是．(1).三、利用三角换元求无理函数的最值例4（2011全国高中

3、数学联赛四川初赛）函数的最大值为（）A、B、3C、D、解析：本题显然由例1改编，一个运算符号的差别，导致解法的不同，因为,所以可设x-5=，8-x=(0≤)，则=+=≤,所以选C.评析：对一些无理函数进行适当的三角换元，可去掉根式，转化为三角函数求最值，一般来说，若函数式中含有、、可分别令、、，从而脱去根式,再借助三角函数有界性求最值.例5．（2011全国高中数学联赛）.函数的值域为．解析：设，则=，由得，所以，所以的值域为.练习3:(2011全国高中数学联赛内蒙古初赛)的最大值为．(15)四、利用柯西不等式求无理函数最值我们

4、以上面的例4为例，来分析柯西不等式的应用：因为，由柯西不等式得评注：利用柯西不等式：能够快速求得这类无理函数的最大值五、利用距离模型求无理函数最值例6.(2008全国高中数学联赛江西预赛)设，则函数的最小值为.解析：如图，取为数轴原点，，再作垂线，使,在数轴上取点，使，则，当共线时，值最小，此时例7.求函数的最小值.解：，故几何意义为：在直角坐标系下，函数值为轴上的点与的距离之和，如图所示，从而可知，即三点共线时，函数最小值为.练习4:函数的最大值是_______。六、利用斜率模型求无理函数最值例8.求函数的最小值。解:令,则

5、且，于是问题转化为:当点在上半个单位圆上运动时,求与的连线的斜率的最值(如图).显然,当点与点重合时,直线的斜率最小,此时.当直线与上半个单位圆相切时,直线的斜率最大.设,则直线的方程为直线与上半个单位圆相切解得(舍去)或综上可得,直线的斜率的最值为:，，练习5：函数的最大值是_______。