自动控制原理根轨迹绘制的基本准则

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1、第二节根轨迹绘制的基本准则6/16/202112、根轨迹的对称性：一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即根轨迹位于复平面的实轴上或对称于实轴。用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零、极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。根轨迹的连续性和对称性1、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是增益的函数。当从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线

2、是连续曲线。6/16/202124、根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。但一般开环零点数目m总是小于开环极点数目n，所以有m条根轨迹终止于m个开环零点（有限零点），有（n-m）条根轨迹终止于无限远处的零点（无限零点）。由于根轨迹是当Kg从0变到∞时闭环极点的轨迹，所以根轨迹的起点是对应于系统参数Kg＝0时特征根在S平面上的位置；而根轨迹的终点则是对应于Kg＝∞时特征根在S平面上的分布位置。根轨迹的支数和起始点3、根轨迹的分支数：n阶特征方程有n个根。当从0到无穷大变化时，n个根在复平面

3、内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的分支数等于闭环特征根的数目。6/16/20213证明：由幅值条件可知：当时，只有时，上式才能成立。而是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。当时，，上式成立。是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。6/16/20214根轨迹的起点和终点上式表明,当特征根S→∞时,必对应Kg→∞在控制系统中，开环传递函数分子多项式的阶次m总是小于分母多项式的阶次n，因此有(n-m)条根轨迹的终

4、点在无穷远处。由根轨迹方程知：当时6/16/20215如果把有限数值的零点称为有限零点，而把无穷远处的零点叫做无限零点，则根轨迹必终止于开环零点。此时开环传递函数的零点数和极点数是相等。[例]已知单位反馈控制系统的开环传递函数为试确定根轨迹的分支数及起点、终点。解：将开环传递函数改写成6/16/20216开环传递函数分母多项式最高阶次n=2，所以根轨迹分支数为2。开环极点有两个：开环零点有一个：根轨迹起始于开环极点，即起始于0和。其中一条根轨迹终止于开环零点，即，另一条终止于无穷远处。6/16/202175

5、、实轴上的根轨迹：实轴上具有根轨迹的区间是：其右侧开环实极点数和实零点数的总和为奇数。[证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、p4和一对共轭零点z1、z2。先看试验点s1点：实轴上的根轨迹②成对出现的共轭零点z1、z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；①成对出现的共轭极点p3、p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；说明：开环传递函数的共轭复数极点和零点，对实轴上根轨迹的位置没有影响。实轴上的根轨迹仅取决于位于实轴上的开环极点和零点的分布。6

6、/16/20218所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[p2,p1]为实轴上的根轨迹。③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°；④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°；再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。同样s3点也不是根轨迹上的点。说明：左侧实数极点的存在不影响相角条件。6/16/20219[例4-3]设系统的开环传递函数为：试求实轴上的根轨迹。[解]：零极点分布如下：红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原点有两个极点，双重极

7、点用“”表示。实轴上的根轨迹例题6/16/2021106、根轨迹的会合点和分离点：若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。实轴上的会合点和分离点如图所示某系统的根轨迹，由开环极点出发的两支根轨迹，随着的增大在实轴上A点相遇再分离进入复平面。随着的继续增大，又在实轴上B点相遇并分别沿实轴的左右两方运动。当时，一支根轨迹终止于。另一支趋向。A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。6/16/202111分离点对应于特征方程中的重根,由于根轨迹具有共轭对称性，分离点与会合点必须是实数或共

8、轭复数对。在一般情况下，分离点与会合点处于实轴上。一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则此段根轨迹上或无分离点，或分离点成对出现。6/16/202112[分离点和会合点的求法]：通常采用重根法重根法：根轨迹在实轴上的分离点或会合点表示这些点是闭