根轨迹绘制的基本准则

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1、4.2.1180°等相角根轨迹的绘制规则4.2.20°等相角根轨迹的绘制规则4.2.3参量根轨迹4.2.4关于180°和0°等相角根轨迹的几个问题4.2绘制根轨迹的基本规则（之一）1、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是根轨迹增益的函数。当从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。2、根轨迹的对称性：系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关，对于实际的控制系统来说，这些参数都是实数，具有实系数的闭环特征方程的根具有共轭复根（含实根）的形式，必然对称于实轴。而根轨迹是闭环特征根的集合，所以也对

2、称于实轴。用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐进线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数的180度根轨迹的性质。4.2.1180°等相角根轨迹的绘制规则--根轨迹的连续性和对称性3、根轨迹的支数：根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环特征方程的根在s平面上变化的轨迹。所以根轨迹的分支数必然与闭环特征方程的数目相等。根据根轨迹方程可写出系统的闭环特征方程如下所示绘制根轨迹规则1：根轨迹是对称于实轴的连续曲线，其分支数等

3、于系统开环零点和极点数目中的大者。4.2.1180°等相角根轨迹的绘制规则--根轨迹的支数和起始点闭环特征方程根的数目就等于m和n中的大者，所以根轨迹的分支数等于开环有限零点和极点数目中的大者。当时，只有时，上式才能成立。而是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。4、根轨迹的起点和终点：时闭环极点在s平面的位置为根轨迹的起点。时闭环极点在s平面的位置为根轨迹的终点。根轨迹方程为：另写为：当时，①，上式成立。是开环传递函数有限值的零点，由m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若n

4、>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？我们把无穷远处的终点称无限开环零点。有限数值的开环零点称有限开环零点，那么可以说根轨迹必终止于开环零点处。从这个意义上说，开环零点数目与开环极点数目相等。由根轨迹方程知：当时绘制根轨迹规则2：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。5.根轨迹的渐近线：渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。倾角：设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有的开环有限零点和极点到的相角都相等，即为渐近线的倾角。代入根轨迹的相角条件得：约定：相角逆时针为正，顺时针为负。若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg

5、→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。4.2.1180°等相角根轨迹的绘制规则--根轨迹的渐进线渐近线与实轴的交点假设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有开环有限零点和极点到的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点而言，所有的开环有限零点、极点都汇集在一起，其位置为，这就是渐近线与实轴的交点。幅值条件：绘制根轨迹规则3：如果控制系统的开环极点数n和开环零点数m满足n>m，则当根轨迹增益kg→+∞时，根轨迹的渐近线共有n-m条，这些渐近线在实轴上交于一点，其坐标是：其倾角（与实轴的夹角）为：由根

6、轨迹方程可得：式中，4.2.1180°等相角根轨迹的绘制规则--渐进线与实轴的交点，倾角推导方法二当Kg→∞，由于m

7、在无穷远处，求渐进线与实轴的交点和倾角。[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。渐进线与实轴的交点：渐进线与实轴的倾角：4.2.1180°等相角根轨迹的绘制规则—例子零极点分布和渐进线如图所示。6、实轴上的根轨迹：实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。[举例说明]：在实轴上有两个开环极点，复平面上还有一对共轭极点。s1,s2和s3是实轴上的任意点。它们是根轨迹上的点吗？先看s1点：相角条件，满足根轨迹相角条件，所以是根轨迹上的点。再看s2点：相角条件，不满足根轨迹相角条件，所以不

8、是根轨迹上的点。同样s3点也不是根轨迹上的点。4.2.1180°等相角根轨迹的绘制规则—实轴上的根轨迹绘制根轨迹规则4：若