距离空间的概率列紧性.doc

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1、距离空间的概率列紧性作者：张志旭汪宏远曹万昌崔成贤温绍泉【摘要】讨论了距离空间中集合的概率列紧性，在一定的条件下证明了距离空间中的概率列紧性是可分的。【关键词】距离空间；三角范数；列紧性1基本概念　定义1.1［1］（X，F）称为距离空间，X为抽象集，映射F：X×X×X→0（简记F(a,b,c)=Fabc,Fabc(t)表示Fabc在实数t的值）满足下列条件：　⑴Fabc(0)=0；　⑵a,b∈X,a≠bc∈X,t0>0，使得Fabc(t0)<1；　⑶Fabc(t)=1,t>

2、;0,当a,b,c中至少有二元相等；　⑷Fabc=Facb=Fbca；　⑸Fabc(t1)=Facb(t2)=Fbca(t3)=1Fabc(t1+t2+t3)=1。　定义1.2T称为三角范数，且T满足［0,1］×［0,1］×［0,1］→［0,1］映射，T还满足下列条件：　⑴T(a,1,1)=a,T(0,0,0)=0；　⑵T(a1，b1,c1)≤T(a2,b2,c2),当a1≤a2≤,b1≤b2,c1≤c2；　　⑶T(a,b,c)=T(a,c,b)=T(b,c,a)；　⑷T［T(a,b,c),d

3、,e］=T［a,T(b,c,d),e］=T［a,b,T(c,d,e)］。　　定义1.3(X,F,T)称为Menger空间，满足下列条件：　⑴(X,F)为距离空间；　⑵T为三角范数；　⑶不等式Fabc(t1+t2+t3)≥T(Fabc(t1),Facb(t2),Fbca(t3))成立。　　定义1.4设(X,F)为距离空间，若　　⑴x1,x2,…,xn∈X,{xn}收敛于X充要条件为ε>0,λ>0,a∈X,N(ε,λ,α)使得当n≥N(ε,λ,α)时，有Fxxna(ε)>1-λ

4、；　　⑵AX，a为A的聚点充要条件为：对X中的任意有限个点b1,b2,…,bn，A中存在不同于a的点列{an}，使得limn→∞Faanbj(t)=H(t)(j=1,2,…,n)；　　⑶称=A∪{A的聚点}为A的闭包。　　定义1.5设(X,F)为距离空间，X中的无穷集A称为概率列紧集充要条件为A的任一无穷子集A1必然含有一个收敛的点列，即存在{an}A1,a∈X,使得an→a,若X是概率列紧集,则称(X,F)为概率列紧空间。　　定义1.6设(X,F)为距离空间，ε>0,λ>0,A

5、X,BX，若存在A的有限子集A′={a1,a2,…,an}，使得对任意的ai∈A′，有Faaib(ε)>1-λ(b∈B)，则称A′是关于B的一个(ε,λ)网。　　定义1.7距离空间（X，F）具有性质K充要条件为对任意的使F(abc(t)≠H(t)，而limn→∞Faban(t)=H(t)，limn→∞Facan(t)=H(t)成立的X中的点列{an}的limn→∞Faa′nn(t)=H(t),a′∈X．　　定义1.8(X,F)为距离空间，AX称为概率可分的充要条件为存在X3的可数

6、子集B，使得A．　　若X为概率可分的抽象集，称(X,F)为概率可分距离空间。　　2主要结论　　定理2.1设（X，F，T）为Menger空间，T连续函数，AX是概率列紧的充分条件为ε>0,λ>0及X的任意有限子集B，存在A关于B的(ω,λ)网。　　证明：设B=b{b1,b2,…,bn}是X中的任一有限子集，ε>0,λ>0，取a1∈A，若{a1}不是A关于B的（ε,λ)网，则必存在一点a2∈A,b12∈B，使得Fa1a2b12(ε)≤1-λ，若{a1,a2}仍不构成A

7、点关于B的(ε，λ)网，则必存在a3∈A,b13,b23∈B，使得Fa1a3b13(ε)≤1-λ，Fa2a3b23(ε)≤1-λ。如此继续下去，我们便得到A的有限子集A′={a1,a2,…,an}为A关于B的(ε,λ)网。　　若不然，依上法便得到A中的点列{an}及B中的点列b12，b13,b23,…,b1m…,bb-1m,…使得：　　Faiajbij(ε)≤1-λi≠j(1)　　因AX是概率列紧集，且{an}∈A，ai≠aj(i≠j)，故存在{an}的子列{ank}及a∈X，使得ank→a。

8、　　因为T连续函数，则对上述的λ>0，存在λ′>0，使得T(1-λ′,1-λ′,1-λ′)>1-λ。　　又因B为有限集及ank→a，故对上述ε>0,λ′>0存在自然数1，当k≥1时，对b∈B，有：　　Faankb(ε3)>1-λ′(2)　　特别的，有Faan1b(ε3)>1-λ′　　又对ε>0，λ′>0及an1，存在自然数S，当k≥s时，有　　Faanka(ε3)>1-λ′(3)　　取k=max{1,s}，当k≥K时，⑵、⑶式都成立