资源描述：
《数值分析论文(14)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、Newton迭代法及其应用摘要：本文研究应用泰勒展开式构造出Newton迭代法，论证了它的局部收敛性和收敛阶。分别讨论了单根情形和重根情形，给出了实例应用。最后给出了离散Newton法(割线法)的具体做法。关键词：泰勒展开式，Newton迭代法及其收敛性，重根，离散Newton法(割线法)。Newton迭代法1.Newton法及其收敛性 求方程f（x）=0的根，如果已知它的一个近似,可利用Taylor展开式求出f(x)在附近的线性近似，即 ，ξ在x与之间忽略余项，则得方程的近似右端为x的线性方程，若，则解,记作,它可作为的解的新近似，即 (2.4.1)
2、称为解方程的Newton法.在几何上求方程的解，即求曲线y=f(x)与x轴交点.若已知的一个近似,通过点(，f())作曲线y=f(x)的切线，它与x轴交点为,作为的新近似，如图1所示关于Newton法收敛性有以下的局部收敛定理. 定理1设是f(x)=0的一个根，f(x)在附近二阶导数连续，且，则Newton法(2.4.1)具有二阶收敛，且 (2.4.2) 证明由式(2.4.1)知迭代函数,，,而，由定理可知，Newton迭代(2.4.1)具有二阶收敛，由式可得到式(2.4.2).证毕. 定理表明Newton法收敛很快，但在附近时才能保证迭代序
3、列收敛.有关Newton法半局部收敛性与全局收敛定理.此处不再讨论.例1用Newton法求方程的根.解,Newton迭代为 取即为根的近似，它表明Newton法收敛很快. 例2设＞0，求平方根的过程可化为解方程.若用Newton法求解，由式(2.4.1)得 (2.4.3)这是在计算机上作开方运算的一个实际有效的方法，它每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，计算量少，又收敛很快，对Newton法我们已证明了它的局部收敛性，对式(2.4.3)可证明对任何迭代法都是收敛的，因为当时有 即,而对任意，也可验证,即从k=1开始，且 所以｛｝从
4、k=1起是一个单调递减有下界的序列，｛｝有极限.在式(2.4.3)中令k→∞可得，这就说明了只要，迭代(2.4.3)总收敛到,且是二阶收敛. 在例2.4的迭代法(3)中，用式(2.4.3)求只迭代3次就得到=1.732051,具有7位有效数字.求非线性方程f(x)=0的根x*,几何上就是求曲线y=f(x)与x轴交点x*，若已知曲线上一点过此点作它的切线。方程为此切线与x轴交点记作，它就是(2,4,1)给出的Newtor迭代法，由图2-3看到Newton法求根就是用切线近似曲线，切线与x轴交点xk+1作为方程f(x)=0根x*的新近似。 根据定理2.3可以证明Newt
5、on法是二阶收敛的，这就是定理4.1给出的结果，Newton法由于收敛快，它是方程求根最常用和最重要的方法，在计算机上用Newton法解方程的计算步骤： 算法如下：（Newton法） 步0：给初始近似,计算精度最大迭代步数N,0→k. 步1：计算f(x)→f,若，转步4，否则做 步2：计算，若y=0,转步4，否则步3：若，步4，否则，若，转步4，否则转步1 步4：打印x,f,y,k计算停止。此算法给出了4个停止准则，保证计算在有限步结束，其中y=0及均属非正常结束，，说明用Newton法求根得不到结果，步2中y=0实际使用时可改为（可取）。计算例子见例2.6及
6、例2.7，例2.7得到的计算的Newton法程序（2.4.3）是计算机中计算开方的最有效算法，它对任意初值都能使序列收敛于，且为平方收敛，一般只要迭代3－5次就可达到7－9位有效数字，因此计算量很省。2.重根情形 当,则为方程(2.1.1)的重根，此时,Newton法的迭代函数,，故Newton法仍收敛，但只是线性收敛.若迭代函数改为，则，故迭代法 (2.4.5)具有二阶收敛. 对重根还可构造另一种迭代法，令若是的m重根，则 所以是的单根，对它用Newton法，迭代函数为 从而可构造迭代法 (2.4.6)它也是二阶收敛的. 例3方程的根是
7、二重根，试用Newton法及(2.4.5)、(2.4.6)三种迭代法各计算3步. 解 方法(1)：Newton迭代， 方法(2)：迭代法(2.4.5)， 方法(3)：迭代法(2.4.6)，三种方法均取=1.5计算结果如下： 方法（1）方法（2）方法（3）1.4583333331.4366071431.4254976191.4166666671.4142156861.4142135621.4117647061.4142114381.414213562 方法(2)与方法(3)均达到精确度，而方法(1)只有线性收敛，要达到相同精度需迭
