复变函数期末复习

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1、复变函数期末复习第一节复数与复变函数复数的概念及其运算形如的数叫复数，叫复数的模，始点在原点及终点为的向量与轴正向的夹角叫的辐角，记为，当，叫主值，记为。练习题1下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）复数的表示（1）一般式（2）三角式（3）指数式2填空复数的三角式为，指数式为3下列结论不正确的是（）（A）（B）（C）（D）复数的运算4，，则的一般式是。5函数把平面上的上半单位圆的内部映成了平面上（）（A）上半单位圆的内部（B）下半单位圆的内部（C）单位圆的内部（D）单位圆的外部第二章解析函数如果，则在点可导，如果，则在

2、点可微。在点可导与可微是等价的，可微必连续，但连续不一定可微。函数在某点解析，指的是函数在该点的邻域内解析，函数在闭区域上解析，指的是函数在包含的某区域解析。解析函数又叫全纯函数或正则函数。练习题1讨论在平面上的连续性可微性。解连续性是明显的。8当时，，当时，，所以，不存在，因此，不可微。2下列说法不正确的是（）（A）函数在点可导的充要条件是在点可微（B）函数在点可微的充要条件是在点解析（C）函数在开区域内点可微的充要条件是在内解析（D）函数在点解析的充要条件是的实部与虚部在点的偏导数连续且满足方程。3下列函数中，在复平面上

3、不解析的函数是（）（A）（是整数）（B）（C）（D）4下列函数中，单值函数是（）（A）（是整数）（B）（C）（D）5的支点是（）（A）及（B）及（C）及（D）、、。6。解（）。7。解8。解9设，在从原点沿负实轴上割破的平面上，已知，求的值。解，（1）确定分支由于，所以，，即，可得。810，在将平面适当割开后，能分出三个单值解析分支，并求当得分支在点的值。解设，，则。当时，的辐角；的辐角，因此，按照题设，，所以，。即满足初值条件的分支为，所以，。11函数在（）可微。（A）全复平面（B）在直线上（C）在原点（D）在扩充复平面上。

4、12例如讨论的解析性。解，，。，只有当时，。而四个一阶偏导数都是连续的，因此，只在直线上可微，但在整个复平面部解析。第三章复积分练习题1求，其中是上从到的一段。解曲线C的参数方程为（）即C：，（），，所以，。2下列结论不正确的是（）（A）（B）（C）（C）3计算（1）（）；（2），其中，从到。（3），其中。解（1）的支点为，所以，它在闭圆上解析，所以，。（2）在上解析，所以，。8（3）因的支点为，其单值分支在内解析，并延续到边界，所以。4为圆周，则。5为圆周，则6计算积分，其中是绕一周的周线。解。7第四章幂级数1幂级数的收敛

5、半径是。2设下列说法正确的是（）（A）不恒为零的解析函数的零点是孤立的（B）如果在区域内解析的函数有无限个零点，则在内（C）如果在区域内解析的函数有一列零点收敛于，则在内（D）如果在内有某一子区域上为零或在某一小弧段上为零，则在内3在闭区域内解析，则下列说法正确的是（）（A）在内取得极值（B）在内无极值（C）在上取得最大值。（D）在上无最大值4是的（）阶零点。（A）一阶（B）二阶（C）三阶（D）四阶5在区域内解析的非充要条件是（）（A）在区域内解析的充要条件是在区域内的闭路积分等于零（B）在区域内解析的充要条件是在区域内的一

6、阶偏导连续且满足方程8（C）在区域内能展为幂级数（D）在区域内可微。第五章罗朗级数1的孤立奇点为（）（A）一个可去奇点，一个极点（B）两个极点（C）一个本性奇点，一个极点（D）没有奇点2如果为的阶极点，则下列说法不正确的是（）（A）在点的主要部分有项（B）在点的去心邻域内能表成（C）以点为阶零点。（D）。4是的（）（A）可去奇点（B）极点（C）本性奇点（D）解析的点5在平面内只有两个奇点，试分别求在此两点去心邻域内的罗朗展式。解（1）在内，（2）在内，（3）在点的去心邻域内，（1）在在点的去心邻域内。第六章留数81求下列函数

7、在孤立奇点的留数（1）（2）（3）解（1）解（2）解（3）2求积分解3用数定理求积分解由柯西留数定理，，因此。4用数定理求积分解5计算积分解设，，，当时，，，在内，被积函数只有一个极点，，所以，由留数定理得。86计算积分。解，命，，令，则，，所以，。7设，计算积分。解。被积函数一共有四个一阶极点。在上半平面只有两个极点8计算。解做闭曲线（如图）做一个大上半圆与小圆及其在实轴上的区间。则，则根据柯西定理，即由若当引理，由前面的引理，所以，在两边取的极限得，。9，，则（）（A）0（B）1（C）2（D）310方程在单位圆内有（）个

8、根。8（A）1（B）3（C）5（D）88