复变函数与积分变换期末复习

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1、（第一部分）复变函数复习一复数的概念1.复数的概念：z=x+iy,是实数，x=Re（z）,y=Im（z）.r=-l.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：匕

2、=5/兀2+）,2；2）幅角：在乙工0时，矢量与x轴正向的夹角，记为4%（z）（多值甫数）：主（ftarg（z）是位于（一兀，兀]中的帽角。3）arg（z）与arctan—间的关系如下：xV当x>0,argz=arctan—:xy>0,argz=arctan—+当x<0,

3、（cos0+isin&）,其中&=a

4、rgz；注：中间一•定是“+”号。5）指数表示：z=

5、z

6、N°，其中〃=argz。（二）复数的运算1.加减：若Z]=州+级，E=兀2+0?2'则Z1土6=（西±兀2）+'（歹1土『2）2.乘除：1）若Z]=兀1+iyx,=兀2+砂2'则Z忆2=（兀內一）+"兀2开+兀』2）；Z]=兀

7、+如=(西+纫)(兀2-助)=為勺+兀儿

8、j甘2-)MlsX2+iy2(x2+zy2)(x2-iy2)兀;+W+y；2）若Z]=匕1

9、課，z?二園严，则「•（D3.乘幕与方根1)若z=

10、z

11、(cos0+isin&)=

12、z

13、e,d,则zn=Z"(cosnO+is

14、innO)=忖"严。2)若z=

15、z

16、(cos+1sin^)=ze10,则V7=

17、zpcos伙=0丄2・・・〃一1）（有九个相异的值）0+2k兀..0+2k7ry+1sin（三）复变函数1.复变函数：w=/（Z）,在儿何上可以看作把Z平面上的一个点集D变到W平面上的一个点集G的映射.2.复初等函数1）指数函数："=『（cosy+isiny）,在z平面处处可导，处处解析；且（，）"。注：K址以2加为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：Lnz=Inz+z（argz+2k7r）（R=0，±l,±2•…）（多值函数）；主值：lnz=ln

18、

19、z

20、+iargz。（单值函数）Lnz的每一个主值分支Inz在除去原点及负实轴的z平而内处处解析，且（Inz^=-；注：负复数也冇对数存在。（与实函数不同）3）乘帚与幕函数：a=ebLna（aH0）；z=ehLnz（z工0）注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且（z"）=bzh~lo.ei:-e”eiz+eizsinzcosz4）三角函数：sinz=,cosz=,tgz=,ctgz=2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且（sinz）=cosz,（cosz）=-sinz注：有界性

21、sinz

22、

23、cosz

24、51不再

25、成立；（与实函数不同）7—T7—T4）双曲函数shz=,chz=:22shz奇函数，chzM偶函数°sh乙chz在z平而内解析，且（shz）=chz,（chz）=shzo（网）解析函数的概念1.复变函数的导数r,（y/（Zq+Az）-/（z0）“点可导：/（“H理:2）区域可导：/（Z）在区域内点点可导。2.解析函数的概念1）点解析：/（Z）在5及其Z（）的邻域内可导，称/（Z）在Z（）点解析：2）区域解析：/（z）在区域内每一点解析，称/（Z）在区域内解析;3)若y(z)在％点不解析，称5为/(z)的奇点；1.解析函数的运算法则：解析函

26、数的利、差、枳、商(除分母为零的点)仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数;(五)函数可导与解析的充要条件1.函数可导的充要条件：/(z)=u(x,y)+“(圮y)在2=兀+"可导ou(x,y)和v(x,y)在(兀』)可微，且在(兀，y)处满足C-D条件：dudxdvdudv£f(Su.dv此时，有f(z)=——+i——o、丿dxdx2.函数解析的充要条件：、f(z)=u(x,y)+"(x,y)在区域内解析0«(兀，〉')和)在(兀，y)在Z)内可微，且满足C-D条件：dudv茁duSydv~dx''此时广(z)du.dv=FIo8

27、xdxi

28、：若u(兀，y),v(^,y)在区域D具有一阶连续偏导数，则w(x,.y),v(x,y)在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只耍能说明u.V具有一阶连续偏导且满足C-R条件时，函数/(z)=u+iv一定是可导或解析的。1.函数可导与解析的判别方法1)利用定义(题目要求用定义，如第二章习题1)2)利用充耍条件(函数以/(z)=w(x,>,)+/v(x,y)形式给出，如第二章习题2)3)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数/(Z)是以Z的形式给岀，如第二章习题3)(六)复变函数积分的概念与性质复变函数积分的槪念：］/(z

29、)dz=lim£/(生)c是光滑曲线。mek=注:复变函数的积分实际是复平面上的线枳分。复变函数积分的性质1)打⑵=/⑵次(C“与C的方向和反);2)[[a/(z)+0g(z)