中考综合题展示（三）存在性问题

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1、中考综合题展示（三）存在性问题一、条件探索性问题例1如图，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C．（1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD．若存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由．（2）设AB=a，DC=b，AD=c，那么当a，b，c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．【分析】（1）假设AP⊥PD，有△APB∽△PDC，进而求出BP．（2）方法如（1），但相比之下，添了分类思想．【点评】本例为条件探索型，此类题的解法类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件．二、存在探索性问题例2

2、（2006年浙江省）如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．（1）求直线AB的解析式；（2）若S梯形OBCD=，求点C的坐标；（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【评析】本题是一道存在探索性问题的题型，（1）、（2）两问是常规题，容易解决．（3）问较难，要分不同情况考虑，首先画出符合题意的图形，然后结合图形进行计算或推理，若能推导出符合条件的结论或计

3、算出某些未知数的值，则表示存在；若推出矛盾结论或求不出未知数的值，则所求的点就不存在．【考点精练】1．如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点．过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与X轴所形成的两个角的平分线于点E、F．（1）求证：EB=BF；（2）当为何值时，四边形AEOF是矩形？并证明你的结论；（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形．若存在，求点A与点B的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2005年辽宁省）如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，

4、点A在x轴上，点C在y轴上，OC=，∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．（1）求折痕CE所在直线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，C为切点，AC=6cm，AB=10cm．（1）试猜想∠ACM与∠B的大小有什么关系？并说明理由．（2）在切线MN上是否存在一点D，使

5、得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请确定点D的位置；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y=ax2+bx过点A（4，0），正方形OABC的边BC与抛物线的一个交点为D，点D的横坐标为3，点M在y轴负半轴上，直线L过D、M两点且与抛物线的对称轴交于点H，tan∠OMD=．（1）写出a，b的值：a=_____，b=______，并写出点H的坐标（______，______）．（2）如果点Q是抛物线对称轴上的一个动点，那么是否存在点Q，使得以点O，M，Q，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6、6．（2006年莆田市）已知：如图，抛物线经过A（-3，0），B（0，4）和C（4，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案:例1．（1）如果存在点P，使AP⊥PD，那么∠APD=90°，∴∠APB+∠CPD=90°，∵AB⊥BC，D

7、C⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∴∠APB+∠BAP=90°．∴∠BAP=∠CPD，∴△APB∽△PDC，∴．设BP=x，则PC=4-x，∴，解得x=2，∴在线段BC上存在点P，使AP⊥PD，此时，BP=2．（2）如果在直线BC上存在点P，使AP⊥PD，那么点P在以AD为直径的圆上，且圆的半径为c，取AD的中点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E．∵∠B=∠OEC=∠C=90°，∴AB∥OE∥DC．∵AO=DO，∴BE=CE，∴OE=（AB+DC）=（a+b），当OE

8、点P1、P2，使AP1⊥P1D，AP2⊥P2D；当OE=c，即a+b=c时，以AD为直径的圆与直线BC相切．此时，存在切点P，使AP⊥PD．当OE>c